постройте график функции у=6х²+7х+1 и по графику укажите те значения х, при которых функция принимает положительные(соответственно, отрицательные)значения.
Для построения графика функции \( y = 6x^2 + 7x + 1 \) сначала определим некоторые ключевые характеристики этой параболы.
Определение формы графика: Парабола, заданная квадратной функцией, будет иметь форму "U", так как коэффициент при \( x^2 \) (в данном случае 6) положительный. Это означает, что график будет открываться вверх.
Нахождение вершинной точки: Чтобы найти координаты вершины параболы, используем формулы: \[ x = -\frac{b}{2a} \] Здесь \( a = 6 \) и \( b = 7 \): \[ x = -\frac{7}{2 \cdot 6} = -\frac{7}{12} \] Теперь подставляем это значение обратно в функцию, чтобы найти \( y \): \[ y = 6\left(-\frac{7}{12}\right)^2 + 7\left(-\frac{7}{12}\right) + 1 \] \[ y = 6 \cdot \frac{49}{144} - \frac{49}{12} + 1 = \frac{294}{144} - \frac{588}{144} + \frac{144}{144} \] \[ y = \frac{294 - 588 + 144}{144} = \frac{-150}{144} = -\frac{25}{24} \] Таким образом, вершина параболы находится в точке \( \left(-\frac{7}{12}, -\frac{25}{24}\right) \).
Нахождение корней (пересечения с осью абсцисс): Для этого решим уравнение \( 6x^2 + 7x + 1 = 0 \) с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 49 - 24 = 25 \] Корни находятся по формуле: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 \pm 5}{12} \] Это даёт два корня: \[ x_1 = \frac{-2}{12} = -\frac{1}{6}, \] \[ x_2 = \frac{-12}{12} = -1. \]
Значения \( x \), при которых функция положительна и отрицательна: Так как парабола открыта вверх и имеет корни \( x_1 = -1 \) и \( x_2 = -\frac{1}{6} \), функция \( y \) будет:
- Отрицательной на интервале \( (-\infty, -1) \) и \( (-\frac{1}{6}, +\infty) \);
- Положительной на интервале \( (-1, -\frac{1}{6}) \).
Теперь, с этими данными, вы можете построить график функции \( y = 6x^2 + 7x + 1 \) и отметить соответствующие значения \( x \).
