3x²+x-2>_0

Для решения неравенства \(3x^2 + x - 2 \geq 0\) необходимо сначала найти корни соответствующего квадратного уравнения \(3x^2 + x - 2 = 0\) с помощью дискриминанта.

1. Вычислим дискриминант: Формула дискриминанта: \(D = b^2 - 4ac\), где \(a = 3\), \(b = 1\), \(c = -2\).

   Подставим значения: \[ D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25 \]

2. Находим корни: Корни уравнения находятся по формуле: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

   Подставим значения: \[ x_1 = \frac{-1 + 5}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \] \[ x_2 = \frac{-1 - 5}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1 \]

3. Анализируем знак многочлена: Теперь у нас есть корни \(x_1 = \frac{2}{3}\) и \(x_2 = -1\). Мы должны исследовать знаки функции на интервалах, которые определяются этими корнями: \((-∞, -1)\), \((-1, \frac{2}{3})\) и \((\frac{2}{3}, +∞)\).

   • Выберем тестовые значения для каждого интервала:
     • На интервале \((-∞, -1)\): пусть \(x = -2\): \(3(-2)^2 + (-2) - 2 = 12 - 2 - 2 = 8 \geq 0\).
     • На интервале \((-1, \frac{2}{3})\): пусть \(x = 0\): \(3(0)^2 + 0 - 2 = -2 < 0\).
     • На интервале \((\frac{2}{3}, +∞)\): пусть \(x = 1\): \(3(1)^2 + 1 - 2 = 3 + 1 - 2 = 2 \geq 0\).

4. Результат: Мы видим, что многочлен положителен или равен нулю на интервалах: \((-∞, -1]\) и \([\frac{2}{3}, +∞)\).

Поэтому итоговый ответ неравенства \(3x^2 + x - 2 \geq 0\): \[ x \in (-\infty, -1] \cup [\frac{2}{3}, +\infty) \]