Пешеход сначала шел в гору со скоростью 2 км/ч, а затем спускался с нее со скорость 3 км/ч . Найдите общий путь, проделанный пешеходом, если дорога в горку на 2 км длиннее спуска , а затраченное на весь путь время равно 4 ч.
Для решения этой задачи обозначим следующие переменные:
- Пусть длина спуска равна \(x\) км.
- Тогда длина в гору будет равна \(x + 2\) км.
Теперь мы знаем, что пешеход шел в гору со скоростью 2 км/ч, а спускался со скоростью 3 км/ч.
Далее нам нужно выразить время, затраченное на каждую часть пути:
Время, затраченное на подъем (в гору):
\[ t_1 = \frac{x + 2}{2} \quad \text{(часы)} \]Время, затраченное на спуск (с горы):
\[ t_2 = \frac{x}{3} \quad \text{(часы)} \]
Согласно условию задачи, общее время пути составляет 4 часа. Запишем это в виде уравнения: \[ t_1 + t_2 = 4 \]
Подставим выражения для \(t_1\) и \(t_2\): \[ \frac{x + 2}{2} + \frac{x}{3} = 4 \]
Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на 6 (наименьшее общее кратное 2 и 3): \[ 6 \cdot \left(\frac{x + 2}{2}\right) + 6 \cdot \left(\frac{x}{3}\right) = 6 \cdot 4 \] \[ 3(x + 2) + 2x = 24 \]
Теперь раскрываем скобки и упрощаем: \[ 3x + 6 + 2x = 24 \] \[ 5x + 6 = 24 \] \[ 5x = 24 - 6 \] \[ 5x = 18 \] \[ x = \frac{18}{5} = 3.6 \quad \text{(км)} \]
Теперь найдём длину пути. Длина спуска \(x\) равна 3.6 км, тогда длина подъема будет: \[ x + 2 = 3.6 + 2 = 5.6 \quad \text{(км)} \]
Теперь найдем общий путь: \[ \text{Общий путь} = x + (x + 2) = 3.6 + 5.6 = 9.2 \quad \text{(км)} \]
Таким образом, общая длина пути, проделанного пешеходом, составляет 9.2 км.
