Разложите на множители a(a+2) -(b+1)(b-1)

Чтобы разложить выражение \( a(a + 2) - (b + 1)(b - 1) \) на множители, начнем с упрощения каждого из слагаемых.

Первое слагаемое: \[ a(a + 2) = a^2 + 2a \]

Второе слагаемое можно упростить, так как это разность квадратов: \[ (b + 1)(b - 1) = b^2 - 1 \]

Теперь подставим упрощенные выражения обратно в исходное выражение: \[ a^2 + 2a - (b^2 - 1) = a^2 + 2a - b^2 + 1 \]

Теперь сгруппируем это выражение: \[ a^2 + 2a + 1 - b^2 \]

Заметим, что \( a^2 + 2a + 1 \) является полным квадратом: \[ a^2 + 2a + 1 = (a + 1)^2 \]

Тогда мы можем записать всё выражение как: \[ (a + 1)^2 - b^2 \]

Теперь это снова разность квадратов, и мы можем применить формулу разности квадратов: \[ x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) \]

Здесь \( x = (a + 1) \) и \( y = b \): \[ ((a + 1) - b)((a + 1) + b) \]

Таким образом, окончательный ответ будет: \[ (a + 1 - b)(a + 1 + b) \]

Это и есть разложение на множители данного выражения.