x²-2x<0

Чтобы решить неравенство \( x^2 - 2x < 0 \), начнем с того, что упростим его.

1. Перепишем неравенство: \[ x^2 - 2x < 0 \]

2. Вынесем общий множитель: \[ x(x - 2) < 0 \]

Теперь у нас есть произведение двух множителей \( x \) и \( (x - 2) \), и нам нужно выяснить, когда это произведение меньше нуля.

3. Найдем нули функции: \[ x = 0 \quad \text{и} \quad x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \]

Теперь у нас есть два критических значения: \( x = 0 \) и \( x = 2 \). Эти точки разбивают числовую ось на три интервала:

• \( (-\infty, 0) \)
• \( (0, 2) \)
• \( (2, +\infty) \)

4. Проверим знак произведения \( x(x - 2) \) на каждом из этих интервалов:

• Для интервала \( (-\infty, 0) \): Выберем, например, \( x = -1 \): \[ (-1)(-1 - 2) = (-1)(-3) = 3 > 0 \]

• Для интервала \( (0, 2) \): Выберем \( x = 1 \): \[ (1)(1 - 2) = (1)(-1) = -1 < 0 \]

• Для интервала \( (2, +\infty) \): Выберем \( x = 3 \): \[ (3)(3 - 2) = (3)(1) = 3 > 0 \]

5. Теперь мы знаем знак для каждого интервала:

• В интервале \( (-\infty, 0) \) произведение положительное.
• В интервале \( (0, 2) \) произведение отрицательное.
• В интервале \( (2, +\infty) \) произведение положительное.

6. Из этого следует, что неравенство \( x(x - 2) < 0 \) выполняется только на интервале \( (0, 2) \).

7. Поскольку мы имеем строгое неравенство, нули не включаются в ответ. Таким образом, ответ будет:

\[ x \in (0, 2) \]

Если есть дополнительные вопросы по этой теме, не стесняйтесь спрашивать!