1/х-1/у=2 1/х2-1/у²=16

Чтобы решить систему уравнений:

1. \( \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 2 \)

2. \( \frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2} = 16 \)

Начнем с первого уравнения. Умножим обе стороны на \(xy\):

\[ y - x = 2xy \]

Перепишем это уравнение так:

\[ y = x + 2xy \]

Теперь подставим \(y\) во второе уравнение. Разобьем второе уравнение следующим образом:

\[ \frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2} = \frac{y^2 - x^2}{x^2y^2} = 16 \]

Используя формулу разности квадратов, получаем:

\[ \frac{(y-x)(y+x)}{x^2y^2} = 16 \]

Теперь заменим \(y - x\) из первого уравнения \(y - x = 2xy\):

\[ \frac{(2xy)(y+x)}{x^2y^2} = 16 \]

Упростим это уравнение:

\[ \frac{2xy(y+x)}{x^2y^2} = 16 \]

Сократим \(2\) и выразим \(y + x\):

\[ \frac{y+x}{xy} = 8 \]

Теперь выразим \(y + x\):

\[ y + x = 8xy \]

Теперь у нас две новые уравнения:

1. \(y = x + 2xy\)

2. \(y + x = 8xy\)

Подставим первое уравнение во второе:

\[ (x + 2xy) + x = 8xy \]

Упростим:

\[ 2x + 2xy = 8xy \]

Теперь соберем все в одну сторону:

\[ 2x = 6xy \]

Получим:

\[ x = 3xy \]

Из этого уравнения можно выразить \(y\):

\[ y = \frac{1}{3} \]

Теперь вернемся к первому уравнению \( \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 2 \):

Подставим \(y\) обратно:

\[ \frac{1}{x} - 3 = 2 \]

Упрощаем:

\[ \frac{1}{x} = 5 \]

Таким образом, \(x = \frac{1}{5}\) и, подставляя это значение в одно из уравнений, получаем \(y = \frac{1}{3}\).

Итак, решение системы уравнений:

\(x = \frac{1}{5}, y = \frac{1}{3}\).