На окружности отметили 100 точек : А1,А 2,...,А100. Каких многоугольников с вершинами в отмеченных точках больше: тех которых точка А1 является вершиной или тех которых точка А1…

Для решения этой задачи давайте рассмотрим два случая:

1. Многоугольники, в которых вершина A1 присутствует.
2. Многоугольники, в которых вершина A1 отсутствует.

1. Многоугольники с вершиной A1

Если A1 является одной из вершин, нам нужно выбрать остальные вершины из оставшихся 99 точек (A2, A3, …, A100). Формально, множество возможных многоугольников будет состоять из всех возможных комбинаций точек, включая точку A1.

Допустим, мы можем построить многоугольники от треугольников (3 вершины) до 100 угольника (все 100 вершин). Общее количество многоугольников, в которых A1 является одной из вершин, можно рассчитать следующим образом:

• Для многоугольника с \( k \) вершинами (где \( k \) меняется от 3 до 100), мы выбираем \( k-1 \) оставшихся вершин из 99.
• Число способов выбрать \( k-1 \) вершин из 99 равно \( C(99, k-1) \).

Таким образом, общее количество многоугольников, в которых A1 является вершиной:

\[ \text{Общее количество} = \sum_{k=3}^{100} C(99, k-1) \]

2. Многоугольники без вершины A1

В этом случае ни A1, ни A2, ни A100 не должны быть выбраны. Мы можем строить многоугольники только из оставшихся 99 точек (A2, A3, …, A100). Аналогично первому случаю, мы можем посчитать количество многоугольников:

• Для многоугольника с \( k \) вершинами, где \( k \) от 3 до 99 (поскольку у нас только 99 точек), количество способов выбрать \( k \) вершин из 99 будет равным \( C(98, k) \).

Таким образом, общее количество многоугольников без A1:

\[ \text{Общее количество} = \sum_{k=3}^{99} C(98, k) \]

Сравнение

Теперь нам нужно понять, какая из двух сумм больше.

Сумма для многоугольников с A1 включает все многоугольники, которые можно составить из 99 вершин плюс разнообразные конфигурации с включением A1. Практически все многоугольники, созданные без A1, можно создать с его включением.

Вывод

В общем, можно сделать вывод, что многоугольников с вершиной A1 будет больше, чем многоугольников, где A1 отсутствует, поскольку в первом случае мы рассматриваем больше вариантов за счет добавления одной дополнительной точки к различным комбинациям из 99 точек.