Обязательная часть. 1. Длина ломаной АВС равна 13 см. Первое ее звено на 5 см меньше второго, и в 4 раза меньше расстояния между ее началом и концом. Найдите длину второго звена этой ломаной. а) Постройте математическую модель данной задачи. б) Решите задачу.

Давайте разобьем решение на два пункта: построение математической модели и решение задачи.

а) Постройка математической модели

Обозначим:

• длину второго звена ломаной — \( x \) см.
• тогда длина первого звена, согласно условию, равна \( x - 5 \) см.
• По условию, расстояние между началом и концом ломаной равно \( \frac{1}{4} \) от общей длины ломаной. Поскольку общая длина ломаной АВС равна 13 см, то расстояние между началом и концом равно \( \frac{13}{4} \) см.

Суммируем длины всех звеньев и приравниваем к общей длине: \[ (x - 5) + x + \frac{13}{4} = 13 \]

б) Решение задачи

1. Упрощаем уравнение: \[ 2x - 5 + \frac{13}{4} = 13 \] Перепишем уравнение без дробей, умножив всю его часть на 4: \[ 4(2x - 5) + 13 = 52 \]
2. Раскрываем скобки: \[ 8x - 20 + 13 = 52 \]
3. Упрощаем: \[ 8x - 7 = 52 \]
4. Добавляем 7 к обеим сторонам: \[ 8x = 59 \]
5. Делим обе стороны на 8: \[ x = \frac{59}{8} = 7.375 \text{ см} \]

Теперь находим длину первого звена: \[ x - 5 = 7.375 - 5 = 2.375 \text{ см} \]

Итак, длина второго звена ломаной АВС составляет \( \frac{59}{8} \) см или 7.375 см.