Реши пример 1/х+3 - 1/х+9 = 1/х+5 - 1/х+21

Конечно! Давайте решим уравнение шаг за шагом.

Исходное уравнение выглядит так:

\[ \frac{1}{x + 3} - \frac{1}{x + 9} = \frac{1}{x + 5} - \frac{1}{x + 21} \]

Для удобства, давайте найдем общий знаменатель для каждой из двух частей уравнения.

1. Левая часть: Общий знаменатель для знаменателей \(x + 3\) и \(x + 9\) — это \((x + 3)(x + 9)\).

   Перепишем левую часть:

   \[ \frac{(x + 9) - (x + 3)}{(x + 3)(x + 9)} = \frac{6}{(x + 3)(x + 9)} \]

2. Правая часть: Общий знаменатель для \(x + 5\) и \(x + 21\) — это \((x + 5)(x + 21)\).

   Перепишем правую часть:

   \[ \frac{(x + 21) - (x + 5)}{(x + 5)(x + 21)} = \frac{16}{(x + 5)(x + 21)} \]

Теперь у нас есть следующее уравнение:

\[ \frac{6}{(x + 3)(x + 9)} = \frac{16}{(x + 5)(x + 21)} \]

Теперь мы можем перекрестно умножить:

\[ 6 \cdot (x + 5)(x + 21) = 16 \cdot (x + 3)(x + 9) \]

Раскроем скобки:

\[ 6(x^2 + 26x + 105) = 16(x^2 + 12x + 27) \]

Теперь упрощаем обе стороны:

\[ 6x^2 + 156x + 630 = 16x^2 + 192x + 432 \]

Переносим все на одну сторону уравнения:

\[ 0 = 16x^2 + 192x + 432 - 6x^2 - 156x - 630 \]

Соберем подобные члены:

\[ 0 = 10x^2 + 36x - 198 \]

Теперь у нас есть квадратное уравнение:

\[ 10x^2 + 36x - 198 = 0 \]

Делим всё на 2 для упрощения:

\[ 5x^2 + 18x - 99 = 0 \]

Теперь можем применить дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 18^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-99) = 324 + 1980 = 2304 \]

Находим корни уравнения с помощью формулы корней:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

Подставляем значения:

\[ x = \frac{-18 \pm \sqrt{2304}}{10} \] \[ \sqrt{2304} = 48 \]

Теперь подставляем:

\[ x = \frac{-18 \pm 48}{10} \]

Находим два значения:

1. \[ x_1 = \frac{30}{10} = 3 \]

2. \[ x_2 = \frac{-66}{10} = -6.6 \]

Таким образом, решения уравнения:

\[ x = 3 \quad \text{и} \quad x = -6.6 \]

Если у вас есть дополнительные вопросы или что-то непонятно, не стесняйтесь спрашивать!