как сократить дробь 12а²-а-1/3а²+5а-2
Чтобы сократить дробь \( \frac{12a^2 - a - 1}{3a^2 + 5a - 2} \), необходимо выполнить следующие шаги:
Факторизация числителя и знаменателя. Начнем с числителя \( 12a^2 - a - 1 \).
Нам нужно найти корни этого квадратного уравнения. Мы можем использовать дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-1) = 1 + 48 = 49 \] Корни будут определяться по формуле: \[ a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] Подставляя наши значения: \[ a_1 = \frac{1 + 7}{24} = \frac{8}{24} = \frac{1}{3}, \quad a_2 = \frac{1 - 7}{24} = \frac{-6}{24} = -\frac{1}{4} \]
Теперь разложим числитель: \[ 12a^2 - a - 1 = 12(a - \frac{1}{3})(a + \frac{1}{4}) \]
Теперь разложим знаменатель \( 3a^2 + 5a - 2 \).
Для этого также воспользуемся дискриминантом: \[ D = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49 \] Находим корни: \[ a_{1,2} = \frac{-5 \pm 7}{6} \] Таким образом, получаем: \[ a_1 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}, \quad a_2 = \frac{-12}{6} = -2 \]
Разложим знаменатель: \[ 3a^2 + 5a - 2 = 3(a - \frac{1}{3})(a + 2) \]
Теперь подставим разложенные формы в дробь: \[ \frac{12(a - \frac{1}{3})(a + \frac{1}{4})}{3(a - \frac{1}{3})(a + 2)} \]
Сокращение общих множителей \( (a - \frac{1}{3}) \): \[ = \frac{12(a + \frac{1}{4})}{3(a + 2)} \]
Далее можно упростить: \[ = \frac{4(a + \frac{1}{4})}{a + 2} \]
Таким образом, окончательный вид сокращённой дроби будет: \[ \frac{4(a + \frac{1}{4})}{a + 2} \]
Если есть дополнительные вопросы или нужно объяснить что-то еще, не стесняйтесь спрашивать!
