9х²-6ху+4у²≥0

Давайте рассмотрим неравенство \( 9x^2 - 6xy + 4y^2 \geq 0 \).

Во-первых, это неравенство представляет собой квадратное выражение относительно \( x \). Чтобы проанализировать его, мы можем определить его как квадратный трехчлен. Стандартная форма квадратного уравнения такова:

\[ ax^2 + bx + c \]

где \( a = 9 \), \( b = -6y \), и \( c = 4y^2 \).

Теперь мы можем использовать дискриминант для того, чтобы понять, при каких значениях \( y \) данное неравенство выполняется. Дискриминант \( D \) вычисляется по формуле:

\[ D = b^2 - 4ac \]

Подставим наши значения:

\[ D = (-6y)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 4y^2 \] \[ D = 36y^2 - 144y^2 \] \[ D = -108y^2 \]

Дискриминант \( D \) будет меньше или равен нулю только в том случае, если \( y = 0 \). Это означает, что квадратный трехчлен не имеет действительных корней, и, следовательно, выражение \( 9x^2 - 6xy + 4y^2 \) всегда будет больше или равно нуля, если \( y = 0 \).

Итак, неравенство \( 9x^2 - 6xy + 4y^2 \geq 0 \) выполняется для всех \( x \), когда \( y = 0 \).

Если \( y \neq 0 \), то \( D < 0 \), и квадратный трехчлен не меняет знак. А так как \( a = 9 > 0 \), это значит, что выражение постоянно положительно, и следовательно, неравенство выполняется для всех \( x \).

Таким образом, неравенство выполняется для всех \( x \) при любом \( y \), и можно сделать вывод, что:

\[ 9x^2 - 6xy + 4y^2 \geq 0 \]

для всех действительных \( x \) и \( y \).