9х²-6зу+4у²≥0
Чтобы решить неравенство \( 9x^2 - 6xy + 4y^2 \geq 0 \), начнем с анализа его структуры. Это неравенство представляет собой квадратичную форму двух переменных: \( x \) и \( y \).
Признаки типа формы: Мы можем рассмотреть соответствующий квадратный трёхчлен: \[ 9x^2 - 6xy + 4y^2 \]
Дискриминант: Для этого полинома мы можем найти дискриминант относительно \( x \), что поможет определить, как он ведет себя. Дискриминант \( D \) для полинома вида \( ax^2 + bx + c \) равен: \[ D = b^2 - 4ac \] Здесь \( a = 9 \), \( b = -6y \), \( c = 4y^2 \). Подставляя значения, получаем: \[ D = (-6y)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 4y^2 = 36y^2 - 144y^2 = -108y^2 \]
Анализ дискриминанта: Так как дискриминант \( D = -108y^2 \) всегда меньше или равен нулю для всех \( y \) (он равен нулю при \( y = 0 \) и отрицателен при любых других значениях \( y \neq 0 \)), это значит, что квадратный трёхчлен не имеет действительных корней.
Знаковые свойства: При \( D < 0 \) квадратный трёхчлен \( 9x^2 - 6xy + 4y^2 \) либо всегда положителен, либо всегда отрицателен. Так как коэффициент при \( x^2 \) (то есть \( 9 \)) положителен, данное выражение будет больше или равно нулю для всех значений \( x \) и \( y \).
Итак, мы можем заключить, что неравенство \( 9x^2 - 6xy + 4y^2 \geq 0 \) выполняется для любых значений \( x \) и \( y \).
