постройте график функции y=6x²+7x+1 и по графику укажите те значения x, при которых функция принимает положительные (соответственно, отрицательные) значения
Чтобы построить график функции \( y = 6x^2 + 7x + 1 \), нам сначала нужно проанализировать её основные характеристики, а затем определить, в каких диапазонах функция принимает положительные и отрицательные значения.
Определение формы параболы: Функция \( y = 6x^2 + 7x + 1 \) — это квадратичная функция, где \( a = 6 \), \( b = 7 \) и \( c = 1 \). Так как коэффициент \( a \) положительный, график функции будет параболой, открытой вверх.
Нахождение корней уравнения: Для нахождения значений \( x \), при которых \( y = 0 \), решим квадратное уравнение: \[ 6x^2 + 7x + 1 = 0 \] Используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 49 - 24 = 25 \] Так как дискриминант положителен, у уравнения два различных корня: \[ x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - 5}{12} = \frac{-12}{12} = -1 \] \[ x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + 5}{12} = \frac{-2}{12} = -\frac{1}{6} \]
Определение интервалов: Корни \( x_1 = -1 \) и \( x_2 = -\frac{1}{6} \) делят числовую ось на три интервала:
- \( (-\infty, -1) \)
- \( (-1, -\frac{1}{6}) \)
- \( (-\frac{1}{6}, +\infty) \)
Чтобы определить, где функция положительна или отрицательна, проверим знак функции на каждом из интервалов.
- На интервале \( (-\infty, -1) \): возьмем \( x = -2 \) \[ y = 6(-2)^2 + 7(-2) + 1 = 24 - 14 + 1 = 11 \quad (> 0) \]
- На интервале \( (-1, -\frac{1}{6}) \): возьмем \( x = -0.5 \) \[ y = 6(-0.5)^2 + 7(-0.5) + 1 = 6 \cdot 0.25 - 3.5 + 1 = 1.5 - 3.5 = -2 \quad (< 0) \]
- На интервале \( (-\frac{1}{6}, +\infty) \): возьмем \( x = 0 \) \[ y = 6(0)^2 + 7(0) + 1 = 1 \quad (> 0) \]
Вывод:
- Функция принимает положительные значения на интервалах \( (-\infty, -1) \) и \( (-\frac{1}{6}, +\infty) \).
- Функция принимает отрицательные значения на интервале \( (-1, -\frac{1}{6}) \).
Теперь, имея эту информацию, вы можете построить график функции, нанеся указанные точки и отметив области, где функция положительна и отрицательна. Это может быть сделано с помощью графического калькулятора или программного обеспечения для построения графиков. Удачи в учебе!
