Даны параллелограммы ABCD и AB1C1D1.Докажите, что векторы BB1, CC1 и DD1 компланарны.

Чтобы доказать, что векторы BB₁, CC₁ и DD₁ компланарны, мы можем использовать свойства параллелограммов и векторов в пространстве.

1. Определение компланарности: Векторы компланарны, если они лежат в одной плоскости. Это можно показать, если векторы образуют линейную зависимость.

2. Рассмотрение параллелограммов: Параллелограммы ABCD и AB₁C₁D₁ имеют совпадающие базы AB и CD, а также фантомные вершины B₁ и C₁. Векторы, которые мы рассматриваем, это BB₁, CC₁ и DD₁.

3. Векторное представление:

   • Обозначим:
     • \(\vec{BB_1} = \vec{B_1} - \vec{B}\)
     • \(\vec{CC_1} = \vec{C_1} - \vec{C}\)
     • \(\vec{DD_1} = \vec{D_1} - \vec{D}\)

4. Параллельные стороны: Поскольку ABCD и AB₁C₁D₁ — параллелограммы, стороны AB и CD параллельны, и следовательно, перемещение от B до B₁, C до C₁ и D до D₁ также будет находиться в одной плоскости, так как они являются смещениями по параллельным векторам.

5. Линейная зависимость: Если мы выразим один из векторов через два других, например, \(\vec{DD_1} = \vec{BB_1} + \vec{CC_1}\), это указывает на их линейную зависимость и значит, что они лежат в одной плоскости.

Таким образом, мы можем заключить, что векторы BB₁, CC₁ и DD₁ компланарны, так как они образуют линейную зависимость и лежат в одной плоскости через свойства параллелограммов.