В предложении "Он сильно поседел, сново отрастил три бороды и длинные волосы; похудевшее лицо его сново стало лицом множество русских, суздальский людей" слово с безударной чередующейся гласной в корне — "похудевшее".
В данном слове чередование происходит в корне "худ-", где в безударной позиции (при форме глагола "похудеть") гласная "у" в корне меняется на "о" в ударной позиции. Если у вас есть дополнительные вопросы по этой теме или другим аспектам русского языка, не стесняйтесь спрашивать!