(4x+1)/(x-3)=(3x-8)/(x+1)
Чтобы решить уравнение \(\frac{4x+1}{x-3} = \frac{3x-8}{x+1}\), мы начнем с кросс-умножения. Это означает, что мы умножим обе стороны уравнения на выражения в знаменателях, чтобы избавиться от дробей.
Таким образом, мы получаем:
\((4x + 1)(x + 1) = (3x - 8)(x - 3)\).
Теперь раскроем скобки на обеих сторонах:
С левой стороны: \[ (4x + 1)(x + 1) = 4x^2 + 4x + 1x + 1 = 4x^2 + 5x + 1. \]
С правой стороны: \[ (3x - 8)(x - 3) = 3x^2 - 9x - 8x + 24 = 3x^2 - 17x + 24. \]
Теперь у нас есть следующее уравнение:
\[ 4x^2 + 5x + 1 = 3x^2 - 17x + 24. \]
Переносим все элементы в одну сторону, чтобы упростить уравнение:
\[ 4x^2 + 5x + 1 - 3x^2 + 17x - 24 = 0, \]
что упрощается до:
\[ x^2 + 22x - 23 = 0. \]
Теперь мы можем использовать формулу квадратного уравнения \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), где \(a = 1\), \(b = 22\), и \(c = -23\).
Сначала вычислим дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = 22^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-23) = 484 + 92 = 576. \]
Теперь подставим значения в формулу:
\[ x = \frac{-22 \pm \sqrt{576}}{2 \cdot 1} = \frac{-22 \pm 24}{2}. \]
Это дает нам два решения:
- \(x_1 = \frac{-22 + 24}{2} = \frac{2}{2} = 1\),
- \(x_2 = \frac{-22 - 24}{2} = \frac{-46}{2} = -23\).
Таким образом, решения уравнения:
\[ x = 1 \quad \text{и} \quad x = -23. \]
Не забудьте проверить, что нет деления на ноль для этих значений, так как значения \(x = 3\) и \(x = -1\) приведут к неопределённости в исходном уравнении. В данном случае оба найденных значения подходят.
