Сумма гипотенузы и одного катета равны 16, сумма гипотенузы и другого катета равна 18. Найдите стороны треугольника.
Давайте решим задачу, используя свойства прямоугольного треугольника и алгебраические уравнения.
Обозначим гипотенузу как \( c \), первый катет как \( a \), а второй катет как \( b \). Из условий задачи у нас есть две основные информации:
Сумма гипотенузы и одного катета равна 16: \[ c + a = 16 \] Отсюда можем выразить \( a \): \[ a = 16 - c \]
Сумма гипотенузы и другого катета равна 18: \[ c + b = 18 \] Отсюда можем выразить \( b \): \[ b = 18 - c \]
Теперь у нас есть выражения для катетов \( a \) и \( b \): \[ a = 16 - c \] \[ b = 18 - c \]
Теперь воспользуемся теоремой Пифагора, которая гласит, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: \[ a^2 + b^2 = c^2 \]
Подставим выражения для \( a \) и \( b \): \[ (16 - c)^2 + (18 - c)^2 = c^2 \]
Раскроем скобки: \[ (256 - 32c + c^2) + (324 - 36c + c^2) = c^2 \] \[ 256 + 324 - 32c - 36c + 2c^2 = c^2 \] \[ 580 - 68c + 2c^2 = c^2 \]
Приведем уравнение к стандартному виду: \[ 2c^2 - c^2 - 68c + 580 = 0 \] \[ c^2 - 68c + 580 = 0 \]
Решим это квадратное уравнение с помощью формулы: \[ c = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 1 \), \( b = -68 \), \( c = 580 \): \[ c = \frac{68 \pm \sqrt{(-68)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 580}}{2 \cdot 1} \] \[ c = \frac{68 \pm \sqrt{4624 - 2320}}{2} \] \[ c = \frac{68 \pm \sqrt{2304}}{2} \] \[ c = \frac{68 \pm 48}{2} \]
Теперь находим два возможных значения для \( c \):
- \( c = \frac{116}{2} = 58 \)
- \( c = \frac{20}{2} = 10 \)
Давайте рассмотрим \( c = 10 \), так как гипотенуза не может быть больше суммы катетов:
- Если \( c = 10 \): \[ a = 16 - 10 = 6 \] \[ b = 18 - 10 = 8 \]
Таким образом, стороны треугольника:
- Гипотенуза \( c = 10 \)
- Первый катет \( a = 6 \)
- Второй катет \( b = 8 \)
Проверьте, удовлетворяют ли они теореме Пифагора: \[ 6^2 + 8^2 = 10^2 \] \[ 36 + 64 = 100 \] \[ 100 = 100 \]
Все условия выполнены. Итак, стороны треугольника: \( 6, 8 \) и \( 10 \).
