5tg²30° - (cos²45° - sin45°)
Чтобы решить выражение \(5\tg^2 30° - (\cos^2 45° - \sin 45°)\), давайте поэтапно рассмотрим его составные части.
Вычислим \(\tg 30°\): \[ \tg 30° = \frac{\sin 30°}{\cos 30°} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.577. \] Таким образом, \(\tg^2 30° = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{1}{3}\).
Теперь найдем \(5\tg^2 30°\): \[ 5\tg^2 30° = 5 \cdot \frac{1}{3} = \frac{5}{3}. \]
Вычислим \(\cos^2 45°\) и \(\sin 45°\): Зная, что \(\cos 45° = \sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}\), \[ \cos^2 45° = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \] а также \(\sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}\).
Теперь найдем \(\cos^2 45° - \sin 45°\): \[ \cos^2 45° - \sin 45° = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}. \]
Теперь подставим все вычисленные значения обратно в наше выражение: \[ 5\tg^2 30° - (\cos^2 45° - \sin 45°) = \frac{5}{3} - \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}\right). \]
- Сначала упростим выражение в скобках: \[ \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1 - \sqrt{2}}{2}. \]
Теперь окончательно подставим это в наше выражение: \[ = \frac{5}{3} - \frac{1 - \sqrt{2}}{2}. \]
- Найдём общее выражение: Для того чтобы вычесть дроби, необходимо привести их к общему знаменателю, который равен 6: \[ \frac{5}{3} = \frac{10}{6}, \quad \frac{1 - \sqrt{2}}{2} = \frac{3 - 3\sqrt{2}}{6}. \] Теперь можем вычесть: \[ \frac{10}{6} - \frac{3 - 3\sqrt{2}}{6} = \frac{10 - (3 - 3\sqrt{2})}{6} = \frac{10 - 3 + 3\sqrt{2}}{6} = \frac{7 + 3\sqrt{2}}{6}. \]
Итак, окончательный ответ: \[ 5\tg^2 30° - (\cos^2 45° - \sin 45°) = \frac{7 + 3\sqrt{2}}{6}. \]
