x/(x + 1) * ((4x)/(x ^ 2 - 1) + (x - 1)/(x + 1)) - x/(x - 1)
Давайте разберем это выражение шаг за шагом. Нам нужно упростить следующее:
\[ \frac{x}{x + 1} \left( \frac{4x}{x^2 - 1} + \frac{x - 1}{x + 1} \right) - \frac{x}{x - 1} \]
Сначала упростим дробь \( \frac{4x}{x^2 - 1} \). Заметим, что \( x^2 - 1 \) можно разложить на множители: \[ x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \] Тогда мы можем переписать первую дробь: \[ \frac{4x}{x^2 - 1} = \frac{4x}{(x - 1)(x + 1)} \]
Теперь подставим это обратно в выражение: \[ \frac{x}{x + 1} \left( \frac{4x}{(x - 1)(x + 1)} + \frac{x - 1}{x + 1} \right) - \frac{x}{x - 1} \]
Объединим дроби внутри скобок. Для этого найдем общий знаменатель: \[ \text{Общий знаменатель} = (x - 1)(x + 1) \] Таким образом: \[ \frac{4x}{(x - 1)(x + 1)} + \frac{(x - 1)(x - 1)}{(x + 1)(x - 1)} = \frac{4x + (x - 1)(x - 1)}{(x - 1)(x + 1)} \]
Упрощаем числитель: \[ 4x + (x^2 - 2x + 1) = x^2 + 2x + 1 \]
Таким образом, внутри скобок мы получаем: \[ \frac{x^2 + 2x + 1}{(x - 1)(x + 1)} \]
Итак, теперь выражение выглядит так: \[ \frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x^2 + 2x + 1}{(x - 1)(x + 1)} - \frac{x}{x - 1} \]
Преобразуем это дальше. Заметим, что \( x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2 \): \[ \frac{x \cdot (x + 1)^2}{(x - 1)(x + 1)^2} = \frac{x}{x - 1} \]
Таким образом, первое слагаемое упрощается до: \[ \frac{x}{x - 1} \]
Теперь объединяем оба слагаемых: \[ \frac{x}{x - 1} - \frac{x}{x - 1} = 0 \]
В результате, всё выражение упрощается до нуля: \[ \boxed{0} \]
Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно подробнее объяснить какой-то момент, не стесняйтесь спрашивать!
