Реши квадратное неравенство x2 - 5x + 4 меньше нуля

Чтобы решить квадратное неравенство \( x^2 - 5x + 4 < 0 \), сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения \( x^2 - 5x + 4 = 0 \).

Корни уравнения можно найти с помощью дискриминанта:

1. Найдем дискриминант \( D \): \[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9. \]

2. Теперь найдем корни уравнения по формуле: \[ x_1, x_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 3}{2}. \] Это дает нам два корня: \[ x_1 = \frac{8}{2} = 4, \quad x_2 = \frac{2}{2} = 1. \]

Теперь у нас есть корни \( x_1 = 4 \) и \( x_2 = 1 \).

Чтобы определить, где выражение \( x^2 - 5x + 4 \) меньше нуля, рассмотрим интервал между корнями и за их пределами. Квадратичная функция имеет форму "U", и уклон зависит от коэффициента при \( x^2 \), который положителен.

Рассмотрим следующие интервалы:

1. \( x < 1 \)
2. \( 1 < x < 4 \)
3. \( x > 4 \)

Теперь проверим знак функции на каждом интервале:

1. Для \( x < 1 \) (например, \( x = 0 \)): \[ f(0) = 0^2 - 5 \cdot 0 + 4 = 4 > 0. \]

2. Для \( 1 < x < 4 \) (например, \( x = 2 \)): \[ f(2) = 2^2 - 5 \cdot 2 + 4 = 4 - 10 + 4 = -2 < 0. \]

3. Для \( x > 4 \) (например, \( x = 5 \)): \[ f(5) = 5^2 - 5 \cdot 5 + 4 = 25 - 25 + 4 = 4 > 0. \]

Таким образом, неравенство \( x^2 - 5x + 4 < 0 \) выполняется на интервале \( (1, 4) \).

Ответ: \[ x \in (1, 4). \]