2x²-5x+1=0 Найти разность квадратов корней уравнения, не решая его

Чтобы найти разность квадратов корней уравнения \(2x² - 5x + 1 = 0\), можно использовать свойства корней квадратного уравнения.

Для уравнения вида \(ax^2 + bx + c = 0\) корни \(x_1\) и \(x_2\) находятся по следующим формулам:

• Сумма корней: \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\)
• Произведение корней: \(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\)

В вашем случае:

• \(a = 2\)
• \(b = -5\)
• \(c = 1\)

Сначала найдем сумму и произведение корней:

1. Сумма корней: \[ x_1 + x_2 = -\frac{-5}{2} = \frac{5}{2} \]

2. Произведение корней: \[ x_1 \cdot x_2 = \frac{1}{2} \]

Теперь можем использовать эти значения для нахождения разности квадратов корней. Разность квадратов можно выразить как: \[ x_1^2 - x_2^2 = (x_1 - x_2)(x_1 + x_2) \]

Чтобы найти \(x_1 - x_2\), используем формулу: \[ x_1 - x_2 = \sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1 \cdot x_2} \]

Теперь подставим найденные значения:

1. \( (x_1 + x_2)^2 = \left(\frac{5}{2}\right)^2 = \frac{25}{4} \)
2. \( 4x_1 \cdot x_2 = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2 \)

Итак, \(x_1 - x_2\): \[ x_1 - x_2 = \sqrt{\frac{25}{4} - 2} = \sqrt{\frac{25}{4} - \frac{8}{4}} = \sqrt{\frac{17}{4}} = \frac{\sqrt{17}}{2} \]

Теперь найдем разность квадратов корней: \[ x_1^2 - x_2^2 = (x_1 - x_2)(x_1 + x_2) = \left(\frac{\sqrt{17}}{2}\right) \left(\frac{5}{2}\right) = \frac{5\sqrt{17}}{4} \]

Таким образом, разность квадратов корней уравнения \(2x² - 5x + 1 = 0\) равна \(\frac{5\sqrt{17}}{4}\).