Докажите, что сумма любых двух взаимно обратных отрицательных чисел не больше чем -2
Давайте разберемся с заявлением: "Сумма любых двух взаимно обратных отрицательных чисел не больше чем -2".
Обозначим два взаимно обратных отрицательных числа как \( x \) и \( y \). Поскольку числа взаимно обратные, мы знаем, что \( y = -\frac{1}{x} \). Поскольку \( x \) является отрицательным числом, \( y \) также будет отрицательным, поскольку отрицательное число, взятое в обратную величину, остается отрицательным.
Теперь рассмотрим сумму этих двух чисел:
\[ S = x + y = x - \frac{1}{x}. \]
Чтобы доказать, что эта сумма не больше -2, мы можем преобразовать выражение.
Упрощаем сумму: \[ S = x - \frac{1}{x}. \]
Далее мы покажем, что \( S \leq -2 \) для любых отрицательных \( x \). Для этого сделаем замену \( x = -a \), где \( a > 0 \):
\[ S = -a + \frac{1}{a}. \]
- Теперь необходимо найти максимальное значение \( -a + \frac{1}{a} \) при положительном \( a \). Чтобы это сделать, найдем производную и найдем точки максимумов:
\[ S' = -1 - \frac{1}{a^2}. \]
Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
С учетом того, что \( S' < 0 \) для всех положительных \( a \), функция \( S \) убывает. Это значит, что наибольшее значение будет при минимально возможном \( a \). При \( a \to \infty \), \( S \to -\infty\), а при \( a \to 1 \):
\[ S(1) = -1 + 1 = 0. \]
Теперь рассмотрим предел при \( a \to 0 \) (то есть, когда \( x \to -\infty \)):
- Сумма \( S \) стремится к \( -\infty \).
Мы также можем заметить, что чем больше по модулю отрицательное число, тем меньше сумма. Для любых \( x < -1 \):
\[ x - \frac{1}{x} < -2. \]
Таким образом, мы можем использовать неравенство \( ab \leq -1 \) (где \( a, b < 0 \)) для подтверждения, что \( S \leq -2 \).
В итоге, мы доказали, что сумма любых двух взаимно обратных отрицательных чисел не больше -2.
