X² - 2xy + y² = 25， 2x2 - 2xy - y² = 11

Для решения данной системы уравнений:

1. \(x^2 - 2xy + y^2 = 25\) (Уравнение 1)
2. \(2x^2 - 2xy - y^2 = 11\) (Уравнение 2)

Начнём с первого уравнения. Мы можем его переписать для удобства:

\[ x^2 - 2xy + y^2 - 25 = 0 \]

Это уравнение представляет собой уравнение окружности с центром в точке \((y, y)\) и радиусом 5, если выразить его как

\[(x - y)^2 + y^2 = 25.\]

Теперь рассмотрим второе уравнение:

\[ 2x^2 - 2xy - y^2 - 11 = 0. \]

Мы можем решить его относительно \(y\) в зависимости от \(x\) или наоборот. Давайте выразим \(y\) через \(x\) из первого уравнения:

\[ y^2 - 2xy + x^2 - 25 = 0. \]

Это квадратное уравнение относительно \(y\). Мы можем использовать формулу для нахождения корней квадратного уравнения \(ay^2 + by + c = 0\):

\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}. \]

В нашем случае \(a = 1\), \(b = -2x\), и \(c = x^2 - 25\):

\[ y = \frac{2x \pm \sqrt{(-2x)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (x^2 - 25)}}{2 \cdot 1} \] \[ = \frac{2x \pm \sqrt{4x^2 - 4(x^2 - 25)}}{2} \] \[ = \frac{2x \pm \sqrt{4x^2 - 4x^2 + 100}}{2} \] \[ = \frac{2x \pm 10}{2} \] \[ = x \pm 5. \]

Таким образом, мы находим, что \(y\) может принимать два значения:

\[ y_1 = x + 5, \] \[ y_2 = x - 5. \]

Теперь мы можем подставить эти значения в второе уравнение для нахождения \(x\).

Подставим \(y_1\):

\[ 2x^2 - 2x(x + 5) - (x + 5)^2 = 11. \]

Раскроем скобки:

\[ 2x^2 - 2x^2 - 10x - (x^2 + 10x + 25) = 11, \] \[ - x^2 - 20x - 25 = 11. \]

Переносим все влево:

\[ -x^2 - 20x - 36 = 0. \]

Умножим на -1:

\[ x^2 + 20x + 36 = 0. \]

Теперь находим дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 400 - 144 = 256. \]

Находим \(x\):

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-20 \pm 16}{2}. \]

Таким образом:

\[ x_1 = \frac{-4}{2} = -2, \] \[ x_2 = \frac{-36}{2} = -18. \]

Теперь, подставим найденные значения \(x\) обратно, чтобы получить \(y\):

Для \(x = -2\):

\[ y_1 = -2 + 5 = 3, \] \[ y_2 = -2 - 5 = -7. \]

Для \(x = -18\):

\[ y_1 = -18 + 5 = -13, \] \[ y_2 = -18 - 5 = -23. \]

Таким образом, у нас есть четыре пары решений:

1. \((-2, 3)\)
2. \((-2, -7)\)
3. \((-18, -13)\)
4. \((-18, -23)\)

Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!