4x²-12x+9>0
Чтобы решить неравенство \( 4x^2 - 12x + 9 > 0 \), начнем с его анализа.
Находим корни уравнения: Прежде всего, мы можем решить соответствующее квадратное уравнение \( 4x^2 - 12x + 9 = 0 \) с помощью дискримината.
Дискриминант \( D \) вычисляется по формуле: \[ D = b^2 - 4ac \] где \( a = 4 \), \( b = -12 \), \( c = 9 \).
Подставляем значения: \[ D = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 144 - 144 = 0 \]
Поскольку дискриминант равен нулю, у уравнения есть один двойной корень. Находим этот корень по формуле: \[ x = \frac{-b}{2a} = \frac{12}{2 \cdot 4} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} \]
Анализируем неравенство: Поскольку у нас есть один двойной корень \( x = \frac{3}{2} \), парабола \( y = 4x^2 - 12x + 9 \) касается оси x в этой точке и выше нуля в остальных областях.
Решение неравенства: Мы хотим найти, где \( 4x^2 - 12x + 9 > 0 \). Парабола открыта вверх (так как коэффициент \( a = 4 \) положителен) и касается оси x в \( x = \frac{3}{2} \). Следовательно:
- Для \( x < \frac{3}{2} \) значение функции положительно.
- Для \( x = \frac{3}{2} \) значение равно нулю.
- Для \( x > \frac{3}{2} \) значение функции также положительно.
Таким образом, решение нашего неравенства: \[ x < \frac{3}{2} \quad \text{или} \quad x > \frac{3}{2} \]
Финально, ответ: \[ x \in (-\infty, \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}, +\infty) \]
Это означает, что неравенство \( 4x^2 - 12x + 9 > 0 \) выполняется для всех \( x \), кроме \( x = \frac{3}{2} \).
