Как пишется слово не дождавшись письма и почему

Слово "недождавшись" пишется слитно, потому что в данном случае это деепричастие, образованное от глагола "дождаться". Деепричастия, образованные с помощью приставок, пишутся вместе с ними, если они не были разделены другими частями речи. В вашем случае "не дождавшись" подразумевает, что действие не было совершено, и эта форма используется для обозначения дополнительного обстоятельства. Таким образом, правильная форма – "недождавшись". Если у вас есть дополнительные вопросы о правописании или других аспектах русского языка, не стесняйтесь задавать!