Давайте разберём каждое предложение и установим, где необходимо поставить запятые.
Папа взял ножик и разрезал арбуз. – Запятые не требуются, так как это простое сложносочиненное предложение, соединенное союзом "и".
Садись с нами, Павлик, есть арбуз. – Здесь нужно поставить две запятые, так как обращение "Павлик" выделяется с обеих сторон. Получается: "Садись с нами, Павлик, есть арбуз."
Мне бабушка никогда не даёт вволю поесть арбуза. – Запятые не нужны, предложение простое.
Мы начали есть и долго ели молча. – Здесь также запятые не нужны, это сложносочиненное предложение с союзом "и".
Таким образом, запятые необходимы в предложении номер 2, где "Павлик" является обращением, выделяемым запятыми.