Упростите выражение: 1/(b-3)-6b/(b^2-9)*(1/(b-2)-2/(b^2-2b)) и найдите его значение при b=-2

Для упрощения выражения \( \frac{1}{b-3} - \frac{6b}{b^2-9} \left( \frac{1}{b-2} - \frac{2}{b^2-2b} \right) \), начнем с того, чтобы упростить каждый элемент по очереди.

Сначала заметим, что \( b^2 - 9 \) можно разложить на множители: \( b^2 - 9 = (b-3)(b+3) \). Теперь упрощаем второй множитель:

1. Упрощаем \( \frac{2}{b^2 - 2b} \): \[ b^2 - 2b = b(b - 2) \] Таким образом, \[ \frac{2}{b^2 - 2b} = \frac{2}{b(b-2)}. \]

2. Теперь перепишем разность: \[ \frac{1}{b-2} - \frac{2}{b(b-2)} = \frac{b}{b(b-2)} - \frac{2}{b(b-2)} = \frac{b - 2}{b(b-2)} = \frac{-2}{b(b-2)} \quad (b \neq 0 \text{ и } b \neq 2). \]

3. Теперь вернемся к исходному выражению: \[ \frac{1}{b-3} - \frac{6b}{(b-3)(b+3)} \cdot \left( \frac{-2}{b(b-2)} \right) = \frac{1}{b-3} + \frac{12b}{b(b-2)(b+3)}. \]

Теперь сложим два дробных выражения:

\[ \frac{1}{b-3} + \frac{12b}{b(b-2)(b+3)}. \]

Для сложения упростим обе дроби. Для этого найдем общий знаменатель, который будет равен \( b(b-2)(b+3)(b-3) \).

\[ \frac{(b(b-2)(b+3) + 12b(b-3))}{b(b-2)(b+3)(b-3)}. \]

Перепишем числитель: \[ (b(b-2)(b+3) + 12b(b-3)) = b(b^2 + 3b - 2b - 6) + 12b^2 - 36b = b(b^2 + b - 6) + 12b^2 - 36b. \]

Теперь подставим \( b = -2 \): \[ \frac{1}{-2-3} + \frac{12(-2)}{-2(-2-2)(-2+3)(-2-3)} = \frac{1}{-5} + \frac{-24}{-2(-4)(1)(-5)} = \frac{-1}{5} + \frac{-24}{40}. \] Упрощаем: \[ \frac{-1}{5} + \frac{-3}{5} = \frac{-4}{5}. \]

Таким образом, значение выражения при \( b = -2 \) равно \( -\frac{4}{5} \).