стрелок в тире стреляет до тех пор, пока не попадёт в неё. Вероятность попадания при каждом отдельном выстреле равна 0,6. Найдите вероятность того, что стрелоку потребуется:…

Для решения данной задачи используем принцип вероятности геометрического распределения.

1. Часть а) Найдите вероятность того, что стрелоку потребуется ровно 5 попыток.

Стрелок попадает в мишень с вероятностью 0,6, следовательно, вероятность промаха составляет 0,4. Чтобы стрелок попал в мишень на пятом выстреле, он должен промахнуться на первых четырёх попытках и попасть на пятой.

Формула для вычисления вероятности в этом случае выглядит так:

\[ P(X = k) = (1 - p)^{k-1} \times p \]

где

• \( p = 0,6 \) (вероятность попадания),
• \( k = 5 \) (количество попыток).

Подставляем значения в формулу:

\[ P(X = 5) = (0,4)^{5-1} \times 0,6 = (0,4)^{4} \times 0,6 \]

Рассчитаем:

\[ (0,4)^{4} = 0,4 \times 0,4 \times 0,4 \times 0,4 = 0,0256 \]

Теперь находим общую вероятность:

\[ P(X = 5) = 0,0256 \times 0,6 = 0,01536 \]

Таким образом, вероятность того, что стрелоку потребуется ровно 5 попыток, составляет 0,01536.

2. Часть б) Найдите вероятность того, что стрелоку потребуется от 2 до 4 попыток.

Чтобы найти вероятность того, что стрелок попадает в мишень между 2 и 4 попытками, нужно найти суммы вероятностей для случаев, когда стрелок попадает на 2-й, 3-й и 4-й попытках.

Вероятность попасть на 2-й попытке:

\[ P(X = 2) = (0,4)^{1} \times 0,6 = 0,4 \times 0,6 = 0,24 \]

Вероятность попасть на 3-й попытке:

\[ P(X = 3) = (0,4)^{2} \times 0,6 = 0,16 \times 0,6 = 0,096 \]

Вероятность попасть на 4-й попытке:

\[ P(X = 4) = (0,4)^{3} \times 0,6 = 0,064 \times 0,6 = 0,0384 \]

Теперь сложим все эти вероятности:

\[ P(2 \leq X \leq 4) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) \]

\[ P(2 \leq X \leq 4) = 0,24 + 0,096 + 0,0384 = 0,3744 \]

Таким образом, вероятность того, что стрелоку потребуется от 2 до 4 попыток, составляет 0,3744.