Давайте разберем каждое из предложенных словосочетаний и выделим орфограммы с объяснением написания.
(не)актуальный в повестке дня вопрос
Написание частицы "не" с прилагательным "актуальный" зависит от того, является ли данное слово качественным и используется ли в утвердительной или отрицательной форме. Здесь "неактуальный" пишется слитно, поскольку слово часто употребляется в отрицании.(не)вежа
Слово "вежа" - существительное, и в данном контексте "невежа" пишется слитно, так как мы имеем дело с качественным прилагательным в отрицательной форме.(н)(на)что купить
Здесь "на что" - предлог и местоимение, которые пишутся раздельно, а "не" в данном контексте не используется.(не)заполненная чиновником графа
"Незаполненная" пишется слитно, так как "заполненная" имеет значение, и отрицание влияет на смысл слова.весьма (не)доброкачественный продукт
"Недоброкачественный" пишется слитно, потому что слово "доброкачественный" качественное и "не" изменяет его значение.(не)выразительная внешность, но прекрасная душа
"Невыразительная" пишется слитно, поскольку "выразительная" - качественное прилагательное.(не)похожий на родителей ребёнок
"Непохожий" также пишется слитно, так как это качественное прилагательное.(не)домогать
"Недомогать" пишется слитно, так как это действие в отрицательной форме.помогал (не)бескорыстно, но охотно
"Небескорыстно" пишется слитно, поскольку слово "бескорыстно" описывает качество помощи.(не)выход на работу должен быть объяснён
"Невыход" пишется слитно, потому что это существительное.вина (не)доказана
"Недоказана" пишется слитно, так как это прилагательное, и "не" отрицает его.(не)оплаченные вовремя счета
"Неоплаченные" пишется слитно, так как это причастие (с прилагательным значением).(н)(в)какую (не)успокаиваться
"Неуспокаиваться" также пишется слитно, как и "в какую" – в предложной конструкции.
Таким образом, понимание правил написания частиц "не" и "ни" с различными частями речи поможет правильно оформлять подобные словосочетания. Если у вас появятся еще вопросы по этой или другой теме, не стесняйтесь их задавать!