моторная лодка прошла по течению 25 км и против течения 3 км затратив на весь путь 2 часа какова скорость течения реки если известно что она не превосходит 5 км в час а скорость…
Моторная лодка прошла по течению 25 км и против течения 3 км затратив на весь путь 2 часа какова скорость течения реки если известно что она не превосходит 5 км в час а скорость лодки в стоячей воде 12 км в час
Давайте разберем задачу шаг за шагом.
У нас есть моторная лодка, которая прошла 25 км по течению и 3 км против течения. Пусть скорость течения реки обозначим как \( v \) км/ч. Из условия известно, что максимальная скорость течения \( v \) не превышает 5 км/ч, а скорость лодки в стоячей воде составляет 12 км/ч.
Для начала определим скорость лодки по течению и против течения:
- Скорость лодки по течению: \( 12 + v \) км/ч
- Скорость лодки против течения: \( 12 - v \) км/ч
Теперь можем использовать формулу времени, которая равна расстоянию, деленному на скорость. Обозначим время, потраченное на путь по течению, как \( t_1 \), а время против течения как \( t_2 \).
Мы знаем, что общее время в пути составляет 2 часа:
\[ t_1 + t_2 = 2 \]
Расстояния известны:
- По течению: 25 км
- Против течения: 3 км
Теперь составим уравнения для каждого пути:
\[ t_1 = \frac{25}{12 + v} \]
\[ t_2 = \frac{3}{12 - v} \]
Теперь подставим эти выражения в первое уравнение:
\[ \frac{25}{12 + v} + \frac{3}{12 - v} = 2 \]
Теперь решим это уравнение. Приведем к общему знаменателю:
\[ \frac{25(12 - v) + 3(12 + v)}{(12 + v)(12 - v)} = 2 \]
Упрощаем числитель:
\[ 25 \cdot 12 - 25v + 3 \cdot 12 + 3v = 300 - 25v + 36 + 3v = 336 - 22v \]
Таким образом, уравнение примет вид:
\[ \frac{336 - 22v}{(12 + v)(12 - v)} = 2 \]
Умножим обе стороны на \((12 + v)(12 - v)\):
\[ 336 - 22v = 2(12 + v)(12 - v) \]
Теперь вычислим правую часть:
\[ 2(12^2 - v^2) = 2(144 - v^2) = 288 - 2v^2 \]
Таким образом, у нас получается уравнение:
\[ 336 - 22v = 288 - 2v^2 \]
Переносим все в одну сторону:
\[ 2v^2 - 22v + 336 - 288 = 0 \]
Упрощаем:
\[ 2v^2 - 22v + 48 = 0 \]
Теперь делим все на 2:
\[ v^2 - 11v + 24 = 0 \]
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 121 - 96 = 25 \]
Теперь находим корни:
\[ v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 \pm 5}{2} \]
Находим два возможных корня:
- \( v_1 = \frac{16}{2} = 8 \) (не подходит, так как превышает 5 км/ч)
- \( v_2 = \frac{6}{2} = 3 \)
Таким образом, скорость течения реки составляет 3 км/ч.
