y=2x³+9x²-24x

Чтобы проанализировать функцию \( y = 2x^3 + 9x^2 - 24x \), давайте рассмотрим несколько важных аспектов, таких как нахождение производной, критических точек и графика.

1. Находим производную: Первым шагом будет нахождение производной функции по \( x \): \[ y' = \frac{d}{dx}(2x^3 + 9x^2 - 24x) = 6x^2 + 18x - 24 \]

2. Критические точки: Критические точки находятся, когда производная равна нулю: \[ 6x^2 + 18x - 24 = 0 \] Чтобы упростить уравнение, можно разделить все коэффициенты на 6: \[ x^2 + 3x - 4 = 0 \]

   Используя дискриминант для нахождения корней, \[ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 \] Корни уравнения: \[ x = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{2a} = \frac{{-3 \pm 5}}{2} \] Это дает два значения: \[ x_1 = 1, \quad x_2 = -4 \]

3. Определяем поведение функции: Для определения максимумов и минимумов, подставляем критические точки в первую производную:

   • При \( x < -4 \): \( y' > 0 \) (функция возрастает)
   • При \( -4 < x < 1 \): \( y' < 0 \) (функция убывает)
   • При \( x > 1 \): \( y' > 0 \) (функция снова возрастает)

   Таким образом, у нас есть максимум в \( x = -4 \) и минимум в \( x = 1 \).

4. Вторичная производная: Чтобы подтвердить поведение функции: \[ y'' = \frac{d^2y}{dx^2} = 12x + 18 \] Подставляем \( x = -4 \) и \( x = 1 \) в \( y'' \):

   • \( y''(-4) = 12(-4) + 18 = -48 + 18 = -30 < 0 \) (максимум)
   • \( y''(1) = 12(1) + 18 = 12 + 18 = 30 > 0 \) (минимум)

Эти шаги помогут вам полностью понять поведение функции \( y = 2x^3 + 9x^2 - 24x \). Если у вас есть дополнительные вопросы или вам нужна помощь с конкретными аспектами, дайте знать!