Решите уравнение x²-12/x²-4+x/x-2=1

Давайте решим уравнение \( \frac{x^2 - 12}{x^2 - 4} + \frac{x}{x - 2} = 1 \).

1. Приведем все дроби к общему знаменателю. Заметим, что \( x^2 - 4 \) можно разложить как \( (x + 2)(x - 2) \). Таким образом, общий знаменатель будет \( (x - 2)(x + 2) \).

2. Перепишем уравнение с общим знаменателем:

\[ \frac{x^2 - 12}{(x - 2)(x + 2)} + \frac{x(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)} = 1 \]

Это дает нам:

\[ \frac{x^2 - 12 + x(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)} = 1 \]

3. Объединим числитель:

\[ x^2 - 12 + x^2 + 2x = 2x^2 + 2x - 12 \]

Таким образом уравнение выглядит так:

\[ \frac{2x^2 + 2x - 12}{(x - 2)(x + 2)} = 1 \]

4. Теперь избавимся от знаменателя, умножив обе стороны уравнения на \( (x - 2)(x + 2) \) (при условии, что \( x \neq 2 \) и \( x \neq -2 \)):

\[ 2x^2 + 2x - 12 = (x - 2)(x + 2) \]

5. Распишем правую часть:

\[ 2x^2 + 2x - 12 = x^2 - 4 \]

6. Преобразуем уравнение:

\[ 2x^2 + 2x - 12 - x^2 + 4 = 0 \]

Это можно привести к:

\[ x^2 + 2x - 8 = 0 \]

7. Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Для этого найдем \( D \):

\[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 \]

8. Теперь находим корни:

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm 6}{2} \]

Это даёт два значения:

\[ x_1 = \frac{4}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{-8}{2} = -4 \]

9. Проверим корни:

• \( x = 2 \) является недопустимым, так как мы делим на \( x - 2 \) в начале.
• \( x = -4 \) является допустимым.

Таким образом, решением уравнения является \( x = -4 \).