(x+2)^4+(x+2)^2-12=0
Давайте разберемся с уравнением \((x+2)^4 + (x+2)^2 - 12 = 0\). Мы можем упростить его, введя новую переменную.
Обозначим \(y = (x + 2)^2\). Тогда наше уравнение примет вид:
\[y^2 + y - 12 = 0.\]
Теперь это квадратное уравнение. Чтобы решить его, мы можем использовать формулу для корней квадратного уравнения:
\[y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},\]
где \(a = 1\), \(b = 1\), и \(c = -12\). Подставим значения:
Находим дискриминант: \[D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49.\]
Теперь подставим в формулу корней: \[y = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 7}{2}.\]
Это приводит к двум решениям:
\[ y_1 = \frac{6}{2} = 3,\quad y_2 = \frac{-8}{2} = -4. \]
Теперь возвратимся к оригинальной переменной \(x\). Мы знаем, что \(y = (x + 2)^2\):
Для \(y_1 = 3\): \[(x + 2)^2 = 3\] Принимаем квадратный корень с обеих сторон: \[x + 2 = \pm \sqrt{3} \implies x = -2 \pm \sqrt{3.\]
Для \(y_2 = -4\): Здесь мы видим, что \((x + 2)^2\) не может быть отрицательным (так как квадрат любого числа не может быть меньше нуля). Следовательно, это уравнение не имеет действительных решений.
Таким образом, у нас есть два действительных корня для уравнения:
\[ x = -2 + \sqrt{3} \quad \text{и} \quad x = -2 - \sqrt{3}. \]
Если у вас есть дополнительные вопросы или вам нужна помощь с другими задачами, не стесняйтесь спрашивать!
