С вертолёта, находящегося на высоте 500 м, сбросили груз. Че- рез какое время он упадёт на землю, если вертолёт: 1) непод вижен; 2) поднимается равномерно вверх со скоростью 10…

Для решения данной задачи воспользуемся формулой движения тела в свободном падении и рассмотрим каждый из сценариев отдельно.

1. Вертолет неподвижен.

Груз падает с высоты 500 м. Используем формулу для времени падения при свободном падении:

\[ h = \frac{g t^2}{2} \]

где:

• \( h \) — высота (500 м),
• \( g \) — ускорение свободного падения (примерно 9.81 м/с²),
• \( t \) — время падения.

Подставим значения:

\[ 500 = \frac{9.81 t^2}{2} \]

Упрощаем уравнение:

\[ 500 \cdot 2 = 9.81 t^2 \] \[ 1000 = 9.81 t^2 \] \[ t^2 = \frac{1000}{9.81} \] \[ t^2 \approx 102.0 \] \[ t \approx \sqrt{102.0} \] \[ t \approx 10.1 \text{ секунд} \]

2. Вертолет поднимается со скоростью 10 м/с.

В этом случае, груза начинает падать с высоты, которая увеличивается. На момент сброса он находился на высоте 500 м, а к моменту падения груз будет подниматься с вертолетом. Высота, с которой произойдет падение, будет расти, и за время \( t \) вертолет поднимется на 10t метров. Падение груза происходит также с ускорением свободного падения.

Запишем уравнение движения для груза:

\[ 500 + 10t = \frac{g t^2}{2} \]

Подставим значения и упростим:

\[ 500 + 10t = \frac{9.81 t^2}{2} \] \[ 1000 + 20t = 9.81 t^2 \] \[ 9.81 t^2 - 20t - 1000 = 0 \]

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\[ D = (-20)^2 - 4 \cdot 9.81 \cdot (-1000) \] \[ D = 400 + 39240 \] \[ D = 39640 \]

Теперь найдём корни уравнения:

\[ t = \frac{-(-20) \pm \sqrt{39640}}{2 \cdot 9.81} \] \[ t = \frac{20 \pm 199.1}{19.62} \]

Из двух корней оставим положительный:

\[ t \approx \frac{219.1}{19.62} \approx 11.16 \text{ секунд} \]

3. Вертолет опускается со скоростью 6 м/с.

В этом случае, высота, с которой падает груз, будет уменьшаться, так как вертолет опускается. Мы можем записать:

\[ 500 - 6t = \frac{g t^2}{2} \] \[ 500 - 6t = \frac{9.81 t^2}{2} \] \[ 1000 - 12t = 9.81 t^2 \] \[ 9.81 t^2 + 12t - 1000 = 0 \]

Решим с помощью дискриминанта:

\[ D = 12^2 - 4 \cdot 9.81 \cdot (-1000) \] \[ D = 144 + 39240 \] \[ D = 39384 \]

Теперь найдём корни уравнения:

\[ t = \frac{-12 \pm \sqrt{39384}}{2 \cdot 9.81} \] \[ t = \frac{-12 \pm 198.46}{19.62} \]

Оставляем положительный корень:

\[ t \approx \frac{186.46}{19.62} \approx 9.50 \text{ секунд} \]

Итак, время падения груза из вертолета для каждого из случаев:

1. Если вертолет неподвижен: примерно 10.1 секунд.
2. Если вертолет поднимается со скоростью 10 м/с: примерно 11.16 секунд.
3. Если вертолет опускается со скоростью 6 м/с: примерно 9.50 секунд.