Площадь прямоугольного треугольника, вписанного в круг, равна 24 см2, а один из катетов на 2 см больше другого. Найдите площадь круга.
Для нахождения площади круга, в который вписан прямоугольный треугольник, нам необходимо сначала установить длины катетов этого треугольника.
Обозначим длины катетов как \( a \) и \( b \). По условию задачи, один катет на 2 см больше другого, то есть: \[ b = a + 2. \]
Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b. \] Подставим выражение для \( b \): \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot (a + 2). \]
По условию, площадь треугольника равна 24 см², тогда у нас есть уравнение: \[ \frac{1}{2} \cdot a \cdot (a + 2) = 24. \]
Умножим обе стороны на 2: \[ a \cdot (a + 2) = 48. \]
Решим это уравнение: \[ a^2 + 2a - 48 = 0. \]
Теперь воспользуемся формулой решения квадратного уравнения: \[ a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \] где \( a = 1, b = 2, c = -48 \).
Подставим значения: \[ a = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48)}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 192}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{196}}{2} = \frac{-2 \pm 14}{2}. \]
Теперь находим корни:
- \( a = \frac{12}{2} = 6 \) см,
- \( a = \frac{-16}{2} = -8 \) см (не может быть отрицательным).
Следовательно, \( a = 6 \) см, и тогда: \[ b = a + 2 = 6 + 2 = 8 \text{ см}. \]
Теперь мы знаем длины катетов: \( a = 6 \) см и \( b = 8 \) см.
В прямоугольном треугольнике катеты и гипотенуза связаны теоремой Пифагора: \[ c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ см}. \]
Радиус описанной окружности R (круг, в который вписан треугольник) можно найти по формуле: \[ R = \frac{c}{2} = \frac{10}{2} = 5 \text{ см}. \]
Теперь можем вычислить площадь круга: \[ S_{круга} = \pi R^2 = \pi (5^2) = 25\pi \text{ см}^2. \]
Таким образом, площадь круга равна \( 25\pi \) см².
