ABCD квадрат со стороной 4 см. на стороне AB взята точка M так , что AM= 3 см, а на стороне CD взята точка K, так что DK=1 см. найдите площадь и периметр четырехугольника AMCK

Давайте разберем задачу шаг за шагом.

У нас есть квадрат ABCD со стороной 4 см. Это означает, что каждая сторона квадрата имеет длину 4 см.

1. Определим координаты вершин квадрата:

   • A (0, 0)
   • B (4, 0)
   • C (4, 4)
   • D (0, 4)

2. Найдем координаты точек M и K:

   • Точка M находится на стороне AB и AM = 3 см, поэтому координаты точки M будут (3, 0).
   • Точка K находится на стороне CD и DK = 1 см, значит, координаты точки K будут (0, 3).

Теперь у нас есть точки:

• A (0, 0)
• M (3, 0)
• C (4, 4)
• K (0, 3)

3. Чтобы найти площадь четырехугольника AMCK, используем формулу для площади многоугольника: \[ S = \frac{1}{2} \left| x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_4 + x_4y_1 - (y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_4 + y_4x_1) \right| \]

   Подставим координаты точек A, M, C, K:

   • \( (x_1, y_1) = (0, 0) \)
   • \( (x_2, y_2) = (3, 0) \)
   • \( (x_3, y_3) = (4, 4) \)
   • \( (x_4, y_4) = (0, 3) \)

   Теперь подставим в формулу: \[ S = \frac{1}{2} \left| 0\cdot0 + 3\cdot4 + 4\cdot3 + 0\cdot0 - (0\cdot3 + 0\cdot4 + 4\cdot0 + 3\cdot0) \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| 0 + 12 + 12 + 0 - (0 + 0 + 0 + 0) \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| 24 \right| = 12 \text{ см}^2 \]

4. Теперь найдем периметр четырехугольника AMCK: Для периметра нужно сложить длины всех сторон:

   • AM = 3 см (длина от A до M)
   • MK = \sqrt{(3-0)^2 + (0-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \text{ см}
   • KC = \sqrt{(0-4)^2 + (3-4)^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17} \text{ см}
   • CA = 4 см (длина от C до A)

   Периметр P будет равен: \[ P = AM + MK + KC + CA = 3 + 3\sqrt{2} + \sqrt{17} + 4 \] \[ P = 7 + 3\sqrt{2} + \sqrt{17} \text{ см} \]

Таким образом, площадь четырехугольника AMCK составляет 12 см², а периметр – \(7 + 3\sqrt{2} + \sqrt{17}\) см.