.
Привет! Давай разберёмся с этой задачей вместе.
У нас есть система уравнений:
- xy = 1
- x^2 + y^2 = 9
Мы должны выяснить, сколько решений имеет эта система: одно, четыре или ни одного.
Шаг 1: Подставим y = 1/x из первого уравнения во второе уравнение: (1/x)^2 + x^2 = 9.
Шаг 2: Преобразуем это уравнение: 1/x^2 + x^2 = 9.
Шаг 3: Умножим всё уравнение на x^2, чтобы избавиться от дроби: 1 + x^4 = 9x^2.
Шаг 4: Перенесём все члены на одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: x^4 - 9x^2 + 1 = 0.
Шаг 5: Введём замену t = x^2. Тогда у нас получится: t^2 - 9t + 1 = 0.
Шаг 6: Решим квадратное уравнение: t = (9 ± √(81 - 4))/2, t = (9 ± √77)/2.
У нас два значения для t, каждое из которых даёт два значения для x (положительное и отрицательное): t1 = (9 + √77)/2, t2 = (9 - √77)/2.
Так как t = x^2, то x могут быть либо положительными, либо отрицательными. Соответственно, каждый t даёт 2 значения x, т.е. всего 4 значения для x.
Шаг 7: Найдём соответствующие значения y, используя y = 1/x.
Итак, у нас 4 комбинации значений x и y. Следовательно, ответ: Система имеет четыре решения.
Ответ: 2) четыре решения.
