-x²-2x+8>0
Чтобы решить неравенство \(-x^2 - 2x + 8 > 0\), давайте сначала преобразуем его в более удобный вид.
Переносим все члены на одну сторону неравенства: \[-x^2 - 2x + 8 > 0 \implies -x^2 - 2x + 8 < 0.\]
Умножим все уравнение на \(-1\) (обратите внимание, что при этом знак неравенства изменится на противоположный): \[x^2 + 2x - 8 < 0.\]
Теперь решаем уравнение \(x^2 + 2x - 8 = 0\) с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: \[D = b^2 - 4ac,\] где \(a = 1\), \(b = 2\), \(c = -8\).
Подставим значения: \[D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36.\]
Находим корни уравнения: \[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm 6}{2}.\]
Корни: \[x_1 = \frac{4}{2} = 2,\] \[x_2 = \frac{-8}{2} = -4.\]
Теперь у нас есть корни \(x_1 = 2\) и \(x_2 = -4\). Мы можем определить интервалы, в которых неравенство выполняется:
Разделяем числовую прямую на три интервала, используя найденные корни: \((-∞, -4)\), \((-4, 2)\), \((2, +∞)\).
Теперь проверим знаки функции \(f(x) = x^2 + 2x - 8\) на каждом из интервалов:
- Для \(x < -4\), например, \(x = -5\): \[f(-5) = (-5)^2 + 2(-5) - 8 = 25 - 10 - 8 = 7 > 0.\]
- Для \(-4 < x < 2\), например, \(x = 0\): \[f(0) = 0^2 + 2(0) - 8 = -8 < 0.\]
- Для \(x > 2\), например, \(x = 3\): \[f(3) = 3^2 + 2(3) - 8 = 9 + 6 - 8 = 7 > 0.\]
Таким образом, неравенство \(x^2 + 2x - 8 < 0\) выполняется на интервале \((-4, 2)\).
Итак, ответ будет: \[x \in (-4, 2).\]
