На грань кристалла никеля падает параллельный пучок электронов. Кристалл поворачивают так, что угол скольжения ϑ изменяется. Когда этот угол делается равным 64°, наблюдается максимальное отражение электронов, соответствующее дифракционному максимуму первого порядка. Принимая расстояние d между атомными плоскостями кристалла равным 200 пм, определить длину волны де Бройля λ электронов и их скорость v.

Question 1

Задача Задача №1436600

А

Аноним

09 сентября 2024 10:05 · публичный вопрос

А

Аноним 09 сентября 2024 10:05

На грань кристалла никеля падает параллельный пучок электронов. Кристалл поворачивают так, что угол скольжения ϑ изменяется. Когда этот угол делается равным 64°, наблюдается максимальное отражение электронов, соответствующее дифракционному максимуму первого порядка. Принимая расстояние d между атомными плоскостями кристалла равным 200 пм, определить длину волны де Бройля λ электронов и их скорость v.

Answer

Для решения задачи воспользуемся уравнением Брэгга, которое описывает явление дифракции рентгеновских лучей или электронов на кристаллах. Уравнение имеет следующий вид:

\[ n \lambda = 2d \sin \theta \]

где:

\( n \) — порядок дифракции (в данном случае 1),
\( \lambda \) — длина волны де Бройля электронов,
\( d \) — расстояние между атомными плоскостями кристалла (200 пм = \( 200 \times 10^{-12} \) м),
\( \theta \) — угол скольжения (64°).

Подставим известные значения в уравнение Брэгга:

Преобразуем уравнение для нахождения длины волны \( \lambda \):

\[ \lambda = \frac{2d \sin \theta}{n} \]

Подставим известные значения:

\[ \lambda = \frac{2 \times (200 \times 10^{-12}) \sin(64°)}{1} \]

Вычислим \( \sin(64°) \):

\[ \sin(64°) \approx 0.8988 \]

Тогда:

\[ \lambda = 2 \times (200 \times 10^{-12}) \times 0.8988 \approx 358.34 \times 10^{-12} \text{ м} \approx 358.34 \text{ пм} \]

Теперь найдем скорость \( v \) электронов с помощью формулы де Бройля для длины волны:

\[ \lambda = \frac{h}{p} \]

где \( h \) — постоянная Планка (\( 6.626 \times 10^{-34} \, \text{Дж} \cdot \text{с} \)), а \( p \) — импульс, равный \( mv \) (масса умноженная на скорость). Масса электрона примерно равна \( 9.11 \times 10^{-31} \, \text{кг} \).

Из формулы длины волны выразим импульс:

\[ p = \frac{h}{\lambda} \]

Теперь можем найти скорость electron:

\[ mv = \frac{h}{\lambda} \]

Следовательно,

\[ v = \frac{h}{m \lambda} \]

Подставим значения:

\[ v = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{(9.11 \times 10^{-31}) \times (358.34 \times 10^{-12})} \]

Выполнив вычисление, получим:

\[ v \approx \frac{6.626 \times 10^{-34}}{3.263 \times 10^{-42}} \approx 2.03 \times 10^{8} \text{ м/с} \]

Таким образом, длина волны де Бройля \( \lambda \) электрона составляет примерно 358.34 пм, а скорость \( v \) около \( 2.03 \times 10^{8} \text{ м/с} \).

Question 2

На грань кристалла никеля падает параллельный пучок электронов. Кристалл поворачивают так, что угол скольжения ϑ изменяется. Когда этот угол делается равным 64°, наблюдается максимальное отражение электронов, соответствующее дифракционному максимуму первого порядка. Принимая расстояние d между атомными плоскостями кристалла равным 200 пм, определить длину волны де Бройля λ электронов и их скорость v.

Answer

Для решения задачи воспользуемся уравнением Брэгга, которое описывает явление дифракции рентгеновских лучей или электронов на кристаллах. Уравнение имеет следующий вид: \[ n \lambda = 2d \sin \theta \] где: - \( n \) — порядок дифракции (в данном случае 1), - \( \lambda \) — длина волны де Бройля электронов, - \( d \) — расстояние между атомными плоскостями кристалла (200 пм = \( 200 \times 10^{-12} \) м), - \( \theta \) — угол скольжения (64°). Подставим известные значения в уравнение Брэгга: 1. Преобразуем уравнение для нахождения длины волны \( \lambda \): \[ \lambda = \frac{2d \sin \theta}{n} \] 2. Подставим известные значения: \[ \lambda = \frac{2 \times (200 \times 10^{-12}) \sin(64°)}{1} \] 3. Вычислим \( \sin(64°) \): \[ \sin(64°) \approx 0.8988 \] Тогда: \[ \lambda = 2 \times (200 \times 10^{-12}) \times 0.8988 \approx 358.34 \times 10^{-12} \text{ м} \approx 358.34 \text{ пм} \] Теперь найдем скорость \( v \) электронов с помощью формулы де Бройля для длины волны: \[ \lambda = \frac{h}{p} \] где \( h \) — постоянная Планка (\( 6.626 \times 10^{-34} \, \text{Дж} \cdot \text{с} \)), а \( p \) — импульс, равный \( mv \) (масса умноженная на скорость). Масса электрона примерно равна \( 9.11 \times 10^{-31} \, \text{кг} \). Из формулы длины волны выразим импульс: \[ p = \frac{h}{\lambda} \] Теперь можем найти скорость electron: \[ mv = \frac{h}{\lambda} \] Следовательно, \[ v = \frac{h}{m \lambda} \] Подставим значения: \[ v = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{(9.11 \times 10^{-31}) \times (358.34 \times 10^{-12})} \] Выполнив вычисление, получим: \[ v \approx \frac{6.626 \times 10^{-34}}{3.263 \times 10^{-42}} \approx 2.03 \times 10^{8} \text{ м/с} \] Таким образом, длина волны де Бройля \( \lambda \) электрона составляет примерно 358.34 пм, а скорость \( v \) около \( 2.03 \times 10^{8} \text{ м/с} \).