Площадь прямоугольного треугольника, вписанного в круг, равна 24 см2, а один из катетов на 2 см больше другого. Найдите площадь круга.
Чтобы найти площадь круга, вписанного в прямоугольный треугольник, нужно сначала определить длины катетов этого треугольника.
Обозначим длины катетов как \( a \) и \( b \), при этом согласно условию задачи один катет больше другого на 2 см. Это можно записать как:
\[ b = a + 2 \]
Площадь прямоугольного треугольника можно выразить через его катеты следующим образом:
\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \]
Подставляем значение площади и выражение для \( b \):
\[ 24 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot (a + 2) \]
Умножаем обе стороны на 2:
\[ 48 = a \cdot (a + 2) \]
Раскроем скобки:
\[ 48 = a^2 + 2a \]
Теперь перенесем всё в одну сторону уравнения, чтобы решить квадратное уравнение:
\[ a^2 + 2a - 48 = 0 \]
Для решения этого уравнения можем воспользоваться формулой для нахождения корней квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \):
\[ a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
В нашем случае \( a = 1 \), \( b = 2 \), \( c = -48 \). Подставляем значения:
\[ a = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48)}}{2 \cdot 1} \] \[ a = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 192}}{2} \] \[ a = \frac{-2 \pm \sqrt{196}}{2} \] \[ a = \frac{-2 \pm 14}{2} \]
Теперь находим два корня:
- \( a = \frac{12}{2} = 6 \)
- \( a = \frac{-16}{2} = -8 \) (нецелесообразный, так как длина не может быть отрицательной)
Таким образом, \( a = 6 \) см. Теперь подставим это значение, чтобы найти \( b \):
\[ b = a + 2 = 6 + 2 = 8 \] см.
Следовательно, катеты треугольника имеют длины 6 см и 8 см. Теперь находим радиус круга, вписанного в треугольник. Радиус \( R \) описанной окружности прямоугольного треугольника можно вычислить по формуле:
\[ R = \frac{c}{2} \]
где \( c \) — гипотенуза, которую можно найти с использованием теоремы Пифагора:
\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ см} \]
Теперь можем найти радиус окружности:
\[ R = \frac{10}{2} = 5 \text{ см} \]
Площадь круга вычисляется по формуле \( S = \pi R^2 \):
\[ S = \pi \cdot (5)^2 = 25\pi \text{ см}^2 \]
Таким образом, площадь круга, описанного вокруг прямоугольного треугольника, равна \( 25\pi \) см².
