Моторная лодка прошла 60 км по течению реки и 36 км по озеру, затратив на весь путь 5 часов. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки равна 2 км/ч.
Для решения данной задачи давайте сначала введем необходимые обозначения и формулы. Пусть собственная скорость моторной лодки равна \( v \) км/ч. Мы знаем, что скорость течения реки составляет 2 км/ч.
Шаг 1: Определим скорости
Когда лодка движется по течению реки, её эффективная скорость будет равна: \[ v + 2 \quad \text{км/ч (собственная скорость + скорость течения)} \] Когда лодка движется по озеру, её скорость останется равной: \[ v \quad \text{км/ч} \]
Шаг 2: Найдем время, затраченное на каждую часть пути
Сначала найдем время, затраченное на путь по реке (60 км): \[ t_1 = \frac{60}{v + 2} \]
Затем найдем время, затраченное на путь по озеру (36 км): \[ t_2 = \frac{36}{v} \]
Шаг 3: Составим уравнение для общего времени
Согласно условию задачи, общее время в пути составляет 5 часов: \[ t_1 + t_2 = 5 \] Подставим найденные выражения: \[ \frac{60}{v + 2} + \frac{36}{v} = 5 \]
Шаг 4: Умножим уравнение на общий знаменатель
Общим знаменателем будет \( v(v + 2) \). Умножим всё уравнение на этот знаменатель, чтобы избавиться от дробей: \[ 60v + 36(v + 2) = 5v(v + 2) \]
Шаг 5: Раскроем скобки и упростим
Раскроем скобки: \[ 60v + 36v + 72 = 5v^2 + 10v \] Соберем все члены в одно уравнение: \[ 96v + 72 = 5v^2 + 10v \] Переносим все на одну сторону: \[ 5v^2 - 86v - 72 = 0 \]
Шаг 6: Решим квадратное уравнение
Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения: \[ v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Где \( a = 5 \), \( b = -86 \), \( c = -72 \): \[ b^2 - 4ac = (-86)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-72) = 7396 + 1440 = 8836 \] Теперь находим корни: \[ v = \frac{86 \pm \sqrt{8836}}{10} \] \[ \sqrt{8836} = 94 \] Подставляем значение: \[ v = \frac{86 \pm 94}{10} \]
Найдем корни
- \( v_1 = \frac{180}{10} = 18 \) км/ч
- \( v_2 = \frac{-8}{10} = -0.8 \) км/ч (не подходит, так как скорость не может быть отрицательной)
Ответ
Таким образом, собственная скорость моторной лодки составляет 18 км/ч.
