Log√2(x2-2x-3)

Решение уравнения \( \log_{\sqrt{2}}(x^2 - 2x - 3) \) требует, прежде всего, понять, что подлогарифмическое выражение должно быть положительным.

Давайте сначала упростим выражение под логарифмом:

1. Разложим \( x^2 - 2x - 3 \) на множители: \[ x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1) \]

2. Теперь нам нужно, чтобы \( (x - 3)(x + 1) > 0 \). Давайте определим интервалы, в которых это произведение положительно. Корни многочлена — это \( x = 3 \) и \( x = -1 \).

3. Проверим знаки в интервалах:

   • Для \( x < -1 \): \((x - 3)\) отрицательно, \((x + 1)\) отрицательно, следовательно, произведение положительно.
   • Для \( -1 < x < 3 \): \((x - 3)\) отрицательно, \((x + 1)\) положительно, следовательно, произведение отрицательно.
   • Для \( x > 3 \): \((x - 3)\) положительно, \((x + 1)\) положительно, следовательно, произведение положительно.

4. Таким образом, \( (x - 3)(x + 1) > 0 \) при \( x < -1 \) и \( x > 3 \).

Теперь, зная это, мы можем запомнить, что \( \log_{\sqrt{2}}(x^2 - 2x - 3) \) определен, когда \( x < -1 \) или \( x > 3 \).

Таким образом, окончательный ответ — решение логарифмического уравнения при условии, что \( x < -1 \) или \( x > 3 \).