Решите неравенство интервальным методом x² + 3X + 7x≥0

Решим неравенство \( x^2 + 3x + 7x \geq 0 \). Сначала упростим выражение.

Объединим подобные члены:

\[ x^2 + 10x \geq 0. \]

Теперь можно вынести \( x \) за скобки:

\[ x(x + 10) \geq 0. \]

Теперь нам нужно определить, при каких значениях \( x \) это произведение больше или равно нулю. Для этого найдем корни уравнения \( x(x + 10) = 0 \). Корни будут:

1. \( x = 0 \)
2. \( x + 10 = 0 \Rightarrow x = -10 \)

Итак, у нас есть два корня: \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = -10 \). Теперь определим интервалы, на которых заданное неравенство может быть верным. Мы рассмотрим три интервала:

1. \( (-\infty, -10) \)
2. \( [-10, 0] \)
3. \( (0, +\infty) \)

Теперь проверим знак произведения \( x(x + 10) \) на каждом из этих интервалов:

1. Для \( x < -10 \) (например, \( x = -11 \)): \[ (-11)((-11) + 10) = (-11)(-1) = 11 > 0. \] Следовательно, на этом интервале неравенство выполняется.

2. Для \( -10 \leq x \leq 0 \) (например, \( x = -5 \)): \[ (-5)((-5) + 10) = (-5)(5) = -25 < 0. \] Следовательно, на этом интервале неравенство не выполняется.

3. Для \( x > 0 \) (например, \( x = 1 \)): \[ (1)(1 + 10) = (1)(11) = 11 > 0. \] Следовательно, на этом интервале неравенство выполняется.

Теперь мы можем записать решения:

Неравенство \( x(x + 10) \geq 0 \) выполняется на следующих интервалах:

\[ (-\infty, -10] \cup [0, +\infty). \]

Таким образом, решение неравенства \( x^2 + 10x \geq 0 \) — это \( x \in (-\infty, -10] \cup [0, +\infty) \).