Запишите в виде обыкновенной дроби бесконечную периодическую десятичную дробь: 1)-2.(3); 4) 4.21(31); 5) 123,40(103); 3)-12.(124): 6) 888,(89).
Конечно! Давайте преобразуем указанные бесконечные периодические десятичные дроби в обыкновенные дроби.
- -2.(3)
Обозначим \( x = -2.333...\). Для этого упростим дробь:
- \( x = -2 + 0.333...\) \ Пусть \( y = 0.333...\). Мы знаем, что \( y = \frac{1}{3} \).
Таким образом, \( x = -2 + \frac{1}{3} = -\frac{6}{3} + \frac{1}{3} = -\frac{5}{3} \).
Таким образом, дробь: \(-\frac{5}{3}\).
- 4.21(31)
Обозначим \( x = 4.213131...\).
Разделим на части:
- \( x = 4.21 + 0.00(31) \), где \( 0.00(31) = z \).
Теперь выразим \( z \):
- Пусть \( z = 0.131313...\). Умножим \( z \) на 100, чтобы отделить период:
\[ 100z = 13.131313...\]
Вычтем \( z \) из \( 100z \):
\[ 100z - z = 13.131313... - 0.131313... \] \ \[ 99z = 13 \] \ \[ z = \frac{13}{99} \].
Теперь вернемся к \( x \):
\[ x = 4.21 + \frac{13}{99} = \frac{421}{100} + \frac{13}{99}\].
Приведем к общему знаменателю (9900):
\[ = \frac{421 \cdot 99}{9900} + \frac{13 \cdot 100}{9900} = \frac{41679 + 1300}{9900} = \frac{42979}{9900} \].
Итак, записываем в виде дроби: \( \frac{42979}{9900} \).
- 123,40(103)
Обозначим \( x = 123.40103...\).
Удалим целую часть \( 123 \):
\[ x = 123 + 0.40103...\], пусть \( y = 0.40103...\).
Теперь пусть \( y = 0.401030103...\).
Умножим \( y \) на 1000:
\[ 1000y = 401.030103...\]
Вычтем \( y \):
\[ 1000y - y = 401.030103... - 0.401030103...\] \ \[ 999y = 401 \] \ \[ y = \frac{401}{999} \].
Теперь вернемся к \( x \):
\[ x = 123 + \frac{401}{999} = \frac{123 \cdot 999 + 401}{999} = \frac{122877 + 401}{999} = \frac{122878}{999} \].
Дробь: \( \frac{122878}{999} \).
- -12.(124)
Обозначим \( x = -12.124124...\).
Отделим целую часть:
\[ x = -12 + 0.124124...\].
Обозначим \( y = 0.124124...\):
Умножим \( y \) на 1000:
\[ 1000y = 124.124124...\].
Вычтем \( y \):
\[ 1000y - y = 124.124124... - 0.124124...\] \ \[ 999y = 124 \] \ \[ y = \frac{124}{999} \].
Таким образом:
\[ x = -12 + \frac{124}{999} = -\frac{11988}{999} + \frac{124}{999} = -\frac{11864}{999} \].
Дробь: \(-\frac{11864}{999}\).
- 888,(89)
Обозначим \( x = 888.898989...\).
Отделим целую часть:
\[ x = 888 + 0.898989...\].
Пусть \( y = 0.898989...\).
Умножим \( y \) на 100:
\[ 100y = 89.898989...\].
Вычтем \( y \):
\[ 100y - y = 89.898989... - 0.898989...\] \ \[ 99y = 89 \] \ \[ y = \frac{89}{99} \].
Теперь вернемся к \( x \):
\[ x = 888 + \frac{89}{99} = \frac{888 \cdot 99 + 89}{99} = \frac{87612 + 89}{99} = \frac{87601}{99} \].
Дробь: \( \frac{87601}{99} \).
Таким образом, мы преобразовали все десятичные дроби в обыкновенные дроби. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!
