)В некоторый момент угол между часовой и минутной стрелками часов оказался равен α. Через 3 часа он опять оказался равен α. Найдите все возможные значения α.

Давайте рассмотрим, как мы можем решить эту задачу. У нас есть часовая и минутная стрелки на циферблате, и мы знаем, что угол между ними в некоторый момент равен \( \alpha \). Затем через 3 часа угол снова равен \( \alpha \).

1. Понимание движения стрелок:

   • Часовая стрелка движется со скоростью \( 0.5^\circ \) в минуту (или \( 30^\circ \) за час).
   • Минутная стрелка движется со скоростью \( 6^\circ \) в минуту (или \( 360^\circ \) за час).

2. Угол между стрелками: Угол между двумя стрелками можно вычислить по следующей формуле: \[ \theta = |30h - 5.5m| \] где \( h \) — количество часов, а \( m \) — количество минут.

3. Поскольку у нас есть два момента времени, когда угол равен \( \alpha \):

   • В первый момент времени: \( |30h_1 - 5.5m_1| = \alpha \)
   • Через 3 часа (это 180 минут): \( |30(h_1 + 3) - 5.5(m_1 + 180)| = \alpha \)

4. Записываем второе уравнение: \[ |30(h_1 + 3) - 5.5(m_1 + 180)| = |30h_1 + 90 - 5.5m_1 - 990| = |30h_1 - 5.5m_1 - 900| \] Таким образом, получается два уравнения:

   1. \( 30h_1 - 5.5m_1 = \alpha \)
   2. \( 30h_1 - 5.5m_1 - 900 = \alpha \) или \( 30h_1 - 5.5m_1 - 900 = -\alpha \)

5. Решение уравнений: Из первого уравнения: \[ 30h_1 - 5.5m_1 = \alpha \quad (1) \] Из второго уравнения: \[ 30h_1 - 5.5m_1 = \alpha + 900 \quad (2) \] Или \[ 30h_1 - 5.5m_1 = -\alpha + 900 \quad (3) \]

   Теперь мы можем сопоставить \( \alpha \) из (1) и (2): \[ \alpha + 900 = \alpha \quad \Rightarrow \quad 900 = 0, \text{ что невозможно.} \]

   Сравним (1) и (3): \[ -\alpha + 900 = \alpha \quad \Rightarrow \quad 900 = 2\alpha \quad \Rightarrow \quad \alpha = 450^\circ. \]

Поскольку угол между стрелками может быть не больше \( 180^\circ \), верные значения \( \alpha \) будут равны: \[ \alpha = 0^\circ, 180^\circ, 360^\circ - 450^\circ = -90^\circ \text{ (что также недопустимо)}. \] Таким образом, возможные углы \( \alpha = 0^\circ, 180^\circ \).

Ответ: все возможные значения угла \( \alpha \) равны \( 0^\circ \) и \( 180^\circ \).