X²-3x-4<0

Чтобы решить неравенство \( x^2 - 3x - 4 < 0 \), начнем с нахождения корней соответствующего равенства \( x^2 - 3x - 4 = 0 \). Для этого используем формулу квадратного уравнения:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

где \( a = 1 \), \( b = -3 \), и \( c = -4 \).

Подставляем значения в формулу:

\[ x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} \] \[ x = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2} \] \[ x = \frac{3 \pm 5}{2} \]

Теперь вычислим оба корня:

1. \( x_1 = \frac{8}{2} = 4 \)
2. \( x_2 = \frac{-2}{2} = -1 \)

Таким образом, корни уравнения \( x^2 - 3x - 4 = 0 \) — это \( x_1 = 4 \) и \( x_2 = -1 \).

Теперь знаем, что неравенство \( x^2 - 3x - 4 < 0 \) выполняется между корнями. Сначала определим интервалы:

1. \( (-\infty, -1) \)
2. \( (-1, 4) \)
3. \( (4, +\infty) \)

Теперь проверим знак функции на этих интервалах:

• Для интервала \( (-\infty, -1) \), например, подставим \( x = -2 \): \[ (-2)^2 - 3(-2) - 4 = 4 + 6 - 4 = 6 > 0 \]

• Для интервала \( (-1, 4) \), например, подставим \( x = 0 \): \[ 0^2 - 3(0) - 4 = -4 < 0 \]

• Для интервала \( (4, +\infty) \), например, подставим \( x = 5 \): \[ 5^2 - 3(5) - 4 = 25 - 15 - 4 = 6 > 0 \]

Таким образом, функция \( x^2 - 3x - 4 \) меньше нуля на интервале \( (-1, 4) \).

Итак, ответ на неравенство:

\[ x \in (-1, 4) \]