Сколько плоскостей проходит через различные тройки из 4 точек, не принадлежащей 1 плоскости?(с рисунком)

Чтобы найти количество плоскостей, проходящих через различные тройки из 4 точек, не лежащих на одной плоскости, можно воспользоваться комбинаторикой.

Предположим, у нас есть 4 точки: A, B, C и D. Для того чтобы определить плоскость, нужно выбрать 3 точки из этих 4. Способы выбрать 3 точки из 4 можно вычислить с помощью биномиального коэффициента:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

где \( n \) – общее число точек, а \( k \) – количество выбираемых точек. В нашем случае \( n = 4 \) и \( k = 3 \):

\[ C(4, 3) = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4 \cdot 3!}{3! \cdot 1!} = \frac{4}{1} = 4 \]

Таким образом, существует 4 разные троицы точек, и каждая из них определяет свою уникальную плоскость.

Итак, количество плоскостей, проходящих через различные тройки из 4 точек, не принадлежащих одной плоскости, равно 4.

Рисунок

На рисунке можно изобразить 4 точки как вершины тетраэдра, например:

      A
     /|\
    / | \
   D--+--B
    \ | /
     \|/
      C

Каждая из троек (A, B, C), (A, B, D), (A, C, D) и (B, C, D) будет соответствовать своей плоскости.