рациональные неравенства (3x-2) (x-4) (3-2x)<0

Чтобы решить неравенство \((3x-2)(x-4)(3-2x) < 0\), следуем следующему плану:

1. Найдём нули произведения. Мы определим значения \(x\), при которых каждое из множителей равно нулю:

   • \(3x - 2 = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{3}\)
   • \(x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4\)
   • \(3 - 2x = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{2}\)

   Таким образом, нули нашего произведения: \(x = \frac{2}{3}\), \(x = \frac{3}{2}\) и \(x = 4\).

2. Построим числовую прямую и отметим найденные нули. На числовой прямой у нас есть точки:

   • \(\frac{2}{3} \approx 0.67\)
   • \(\frac{3}{2} = 1.5\)
   • \(4\)

   Теперь у нас есть четыре интервала:

   • \((-\infty, \frac{2}{3})\)
   • \((\frac{2}{3}, \frac{3}{2})\)
   • \((\frac{3}{2}, 4)\)
   • \((4, +\infty)\)

3. Определим знак произведения на каждом интервале. Для этого выберем любую точку из каждого интервала и подставим её в неравенство:

   • Для интервала \((-\infty, \frac{2}{3})\) (например, \(x = 0\)): \((3 \times 0 - 2)(0 - 4)(3 - 2 \times 0) = (-2)(-4)(3) > 0\)

   • Для интервала \((\frac{2}{3}, \frac{3}{2})\) (например, \(x = 1\)): \((3 \times 1 - 2)(1 - 4)(3 - 2 \times 1) = (1)(-3)(1) < 0\)

   • Для интервала \((\frac{3}{2}, 4)\) (например, \(x = 2\)): \((3 \times 2 - 2)(2 - 4)(3 - 2 \times 2) = (4)(-2)(-1) > 0\)

   • Для интервала \((4, +\infty)\) (например, \(x = 5\)): \((3 \times 5 - 2)(5 - 4)(3 - 2 \times 5) = (13)(1)(-7) < 0\)

4. Составляем результат. Мы ищем, где произведение меньше нуля. Это происходит на интервалах:

   • \((\frac{2}{3}, \frac{3}{2})\)
   • \((4, +\infty)\)

5. Записываем итог. Неравенство \((3x-2)(x-4)(3-2x) < 0\) выполняется для: \[ x \in \left(\frac{2}{3}, \frac{3}{2}\right) \cup (4, +\infty) \]

Таким образом, решение неравенства заключается в указанных интервалах! Если у вас возникнут дополнительные вопросы или понадобится помощь с другими задачами, не стесняйтесь спрашивать!