X²-3x-4>0

Чтобы решить неравенство \(x^2 - 3x - 4 > 0\), начнем с нахождения корней соответствующего уравнения \(x^2 - 3x - 4 = 0\). Для этого можем воспользоваться формулой корней квадратного уравнения:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \] где \(a = 1\), \(b = -3\), и \(c = -4\).

Сначала найдем дискриминант \(D\):

\[ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25. \]

Теперь подставим значения в формулу для нахождения корней:

\[ x = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm 5}{2}. \]

Это дает нам два корня:

\[ x_1 = \frac{8}{2} = 4, \] \[ x_2 = \frac{-2}{2} = -1. \]

Теперь мы знаем, что корни неравенства \(x^2 - 3x - 4 = 0\) — это \(x_1 = 4\) и \(x_2 = -1\). Далее мы будем исследовать знаки выражения \(x^2 - 3x - 4\) на интервалах, разделенных этими корнями:

1. Интервал \((- \infty, -1)\)
2. Интервал \((-1, 4)\)
3. Интервал \((4, +\infty)\)

Теперь проверим знак на каждом из этих интервалов:

1. Для интервала \((- \infty, -1)\) возьмем, например, \(x = -2\): \[ (-2)^2 - 3(-2) - 4 = 4 + 6 - 4 = 6 > 0. \] Значит, на этом интервале выражение положительно.

2. Для интервала \((-1, 4)\) возьмем \(x = 0\): \[ 0^2 - 3 \cdot 0 - 4 = -4 < 0. \] Здесь выражение отрицательно.

3. Для интервала \((4, +\infty)\) возьмем \(x = 5\): \[ 5^2 - 3 \cdot 5 - 4 = 25 - 15 - 4 = 6 > 0. \] На этом интервале выражение снова положительно.

Таким образом, неравенство \(x^2 - 3x - 4 > 0\) выполняется на интервалах \((- \infty, -1)\) и \((4, +\infty)\).

Ответ: решение неравенства \((-\infty, -1) \cup (4, +\infty)\).