доведи неровности x[2]+y[2] +10-6x+2y>_0
Чтобы привести неравенство \(x^2 + y^2 + 10 - 6x + 2y \geq 0\) к более удобному виду, давайте попробуем упростить его.
Сначала мы сгруппируем и упростим его. Неравенство можно переписать так: \[ x^2 - 6x + y^2 + 2y + 10 \geq 0 \]
Теперь мы можем сгруппировать квадратные части. Для этого применим метод завершения квадрата для переменной \(x\): \[ x^2 - 6x = (x - 3)^2 - 9 \]
И для переменной \(y\): \[ y^2 + 2y = (y + 1)^2 - 1 \]
Подставим эти результаты в неравенство: \[ (x - 3)^2 - 9 + (y + 1)^2 - 1 + 10 \geq 0 \] Упрощаем: \[ (x - 3)^2 + (y + 1)^2 + 0 \geq 0 \]
В итоге, неравенство выглядит так: \[ (x - 3)^2 + (y + 1)^2 \geq 0 \]
Как мы видим, сумма квадратов всегда неотрицательна, и равенство выполняется, только когда оба квадрата равны нулю. То есть: \[ (x - 3)^2 = 0 \quad \text{и} \quad (y + 1)^2 = 0 \]
Это приводит нас к системе уравнений: \[ x - 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 3 \] \[ y + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad y = -1 \]
Таким образом, неравенство выполняется для всех значений \(x\) и \(y\), кроме точки \((3, -1)\) – это единственная точка, где неравенство равно нулю.
Мы можем сделать вывод, что неравенство \(x^2 + y^2 + 10 - 6x + 2y \geq 0\) выполняется для всех \(x\) и \(y\), кроме точки \((3, -1)\).
